Action

En physique théorique, l'action est une grandeur physique scalaire ayant pour dimension le produit d'une énergie par un temps.

Principe de moindre action

Énoncé

L'importance de l'action en physique est due à l'existence d'un principe particulièrement général, nommé principe de moindre action : le trajet effectivement suivi par un objet entre deux points donnés est celui qui conduit à une valeur stationnaire de l'action. Quand la trajectoire reliant les deux points est suffisamment petite, cet extremum de l'action est un minimum, d'où le nom donné au principe.

Commentaires

A titre d'exemple, en mécanique, au lieu de penser accélération sous l'effet de forces, on raisonne en termes de chemin d'action stationnaire.

Ce principe de moindre action s'est avéré simple, puissant et général à la fois en mécanique classique où il est strictement équivalent aux lois de Newton et en mécanique quantique ou relativiste et en électromagnétisme où sa généralisation a été particulièrement fructueuse.

Énormément de problèmes de physique peuvent être résolus en partant de ce principe :

que ce soit pour trouver le trajet du maître nageur pour atteindre le plus rapidement une personne en train de se noyer ou pour trouver le parcours de la lumière ou le trajet dans un champ gravitationnel d'un point à un autre.
que se soit pour établir les équations de Maxwell ou les bases de la mécanique quantique dans la formulation de Feynman en intégrale de chemin.

Les symétries d'une situation physique peuvent être mieux traitées, par exemple en utilisant le théorème de Nœther qui établit qu'à toute symétrie continue correspond une loi de conservation.

Initialement formulé par Pierre Louis Moreau de Maupertuis, puis développé par Euler et en particulier Lagrange (Pierre de Fermat avait déjà établi un principe de moindre temps pour le trajet de la lumière), le principe de moindre action avait conduit à la formulation Lagrangienne et Hamiltonienne de la mécanique classique.

Ce principe est un des plus importants principes de base de la physique.

Formalisation

Un lagrangien $\mathcal{L}[\varphi_i]$ , nommé ainsi en l'honneur de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques $\ \varphi_i(s)$ qui décrit de façon concise les équations de mouvement du dispositif

Les équations du mouvement s'obtiennent selon le principe d'action stationnaire en écrivant que :

$\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0$

où l'action est :

$\mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,dˆns},$

${}{}{}{}\ s_\alpha$ sert à désigner une base de variables.

Les équations du mouvement obtenues ainsi sont semblables aux équations d'Euler Lagrange, et sont nommées un dispositif dynamique Lagrangien

Les exemples de dispositifs dynamiques Lagrangiens vont du Modèle standard aux équations de Newton à des problèmes de mathématiques pures tels que les équations géodésiques

Un exemple de mécanique classique

La mécanique Lagrangienne est une reformulation de la mécanique classique. Le Lagrangien est défini comme l'énergie cinétique moins l'énergie potentielle :

$\mathcal{L} = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\vec{x}}ˆ2-V(\vec{x}).$

L'équation de Euler-Lagrange associé s'écrit alors :

$m\ddot{\vec{x}}+\nabla V(\vec{x})=0.$

Si on considère que $\vec{F}=- \nabla V(x)$ , on retrouve la deuxième loi de Newton c'est-à-dire :

$m\ddot{\vec{x}} = \vec{F}.$

En coordonnées sphériques : r, θ, φ le Lagrangien s'écrit :

$\frac{m}{2}(\dot{r}ˆ2+rˆ2\dot{\theta}ˆ2 +rˆ2\sinˆ2\theta\dot{\varphi}ˆ2)-V(r).$

Les équations d'Euler-Lagrange donnent alors :

$m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}ˆ2+\sinˆ2\theta\dot{\varphi}ˆ2)+V' =0,$

$\frac{d}{dt}(mrˆ2\dot{\theta}) -mrˆ2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}ˆ2=0,$

$\frac{d}{dt}(mrˆ2\sinˆ2\theta\dot{\varphi})=0.$

Dans ce cas le paramètre $\ s_i$ est simplement le temps, et les variables dynamiques $\ \phi_i(s)$ donnent la trajectoire $\vec x(t)$ de la particule.

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