Angle solide

En mathématiques, en géométrie et en physique, un angle solide est l'analogue tridimensionnel de l'angle plan ou bidimensionnel.



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  • définir un angle solide et donner l'expression de l'angle solide sous... indépendant de R et mesure la valeur de l'angle solide Ωdéfini par le cône :... (source : aalem.free)
L'angle solide est le rapport entre la surface (en rose) de la projection d'un objet sur une sphère et le carré du rayon de celle-ci. Ici, l'objet dont est mesuré l'angle solide est une surface quadrilatère (en bleu).

En mathématiques, en géométrie et en physique, un angle solide est l'analogue tridimensionnel de l'angle plan ou bidimensionnel.

L'angle plan étant défini, dans l'espace bidimensionnel, comme le rapport de la longueur de l'arc sur le rayon d'un cercle, l'angle solide, dans l'espace tridimensionnel, est défini de façon analogue comme le rapport de la surface d'une partie d'une sphère sur le rayon au carré. Son unité est le stéradian noté sr.

On le note fréquemment Ω (oméga majuscule). Il mesure la surface sur laquelle un objet se projette radialement sur une sphère de rayon unité.

Calcul

Formule usuelle

Pour calculer l'angle solide sous lequel on voit un objet à partir d'un point donné, on projette l'objet sur une sphère de rayon R centrée en ce point.

Si la surface que cette projection fait sur la sphère est S, l'angle solide sous lequel l'observateur voit l'objet est , par définition :

\Omega\,=\,\frac{S}{Rˆ2}

Avec :

La notion d'angle solide intervient surtout dans la définition de la luminosité et de ses grandeurs dérivées. Généralement, ces grandeurs sont associées à des corps sources ou récepteurs dont les positions spatiales sont exprimées en coordonnées curvilignes (par exemple, en coordonnées sphériques : position des étoiles, satellites, capteurs au sol, etc. ). On peut par conséquent définir l'angle solide dans ce type de coordonnées.

Angle solide en coordonnées sphériques

L'angle solide Ω correspond à un cône de révolution d'angle Ω inscrit dans la sphère de projection

Pour une sphère de rayon r, l'angle solide est défini pour un élément de surface élémentaire d2 S, c'est-à-dire génèré par des variations angulaires illimitétésimales des zénith θ et azimut φ (la surface élémentaire est assimilée à un plan)  :

dˆ2S = r \cdot d\theta \cdot r \sin\theta \cdot d\phi = rˆ2 \cdot d\theta \cdot \sin\theta \cdot d\phi

D'où :

dˆ2\Omega = \sin\theta \cdot d\phi \cdot d\theta

Par intégration dans les domaines angulaires des coordonnées sphériques :

\Omega = \iint dˆ2\Omega = \int_0ˆ{2\pi} d\phi \int_0ˆ{\alpha} \sin\theta \ d\theta \ = 2\pi\int_0ˆ{\alpha} \sin \theta \ d \theta = 2\pi\left[ -\cos \theta \right]_0ˆ{\alpha} \ = 2\pi\left(1 -\cos \alpha \right)

Ceci définit un cône de révolution de demi-angle au sommet α et de base "sphérique" A = \Omega \cdot Rˆ2. On vérifiera qu'entre deux colatitudes α et α', l'aire de la "zone" est bien 2 \cdot \pi \cdot R \cdot h avec h = R \cdot [cos\ \alpha - cos\ \alpha'].

Coin d'un tétraèdre

Le coin d'un tétraèdre, constitué des angles α, β et γ, projette sur une sphère S la face opposée, donnant ainsi un triangle "gonflé" d'aire Ω aux angles arrondis A, B et C.

Soit Ω l'angle solide constitué par un triangle sphèrique. Le théorème de l'excès sphérique dit de Gauss-Bonnet[1] indique : ˆ{\Omega=\hat A+\hat B+\hat C-\pi }

  1. Ce résultat, découvert par Thomas Harriot, mais non publié, fut édité par Albert Girard vers 1625. Gauss puis Bonnet généraliserons, énormément plus tard.
  2. Quelques explications sur le site du Palais de la découverte

Les angles du triangle sphérique A, B et C suivent le théorème de Pythagore-AlKashi modifié, énoncé en trigonométrie sphérique par Al-Battani Viète et Gauss : \cos\alpha = cos\beta \cdot cos\gamma + sin\beta \cdot sin\gamma \cdot cos A

ce qui peut se réécrire :

A = \arccos\left(\frac{\cos \alpha -\cos \beta \cos \gamma}{\sin \beta \sin \gamma}\right)

B  = \arccos\left(\frac{\cos \beta -\cos \gamma \cos \alpha}{\sin \gamma \sin \alpha}\right)

C = \arccos\left(\frac{\cos \gamma -\cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta}\right)

avec \alpha, \beta, \gamma \neq 0, et la somme de deux angles supérieure ou égale au troisième (sinon le coin est inconstructible).

Cas spécifiques :

Quelques exemples

Calotte sphérique dont le diamètre apparent est 2θ

Voir aussi

En électrostatique, l'Angle Solide joue un rôle capital dans la formulation de l'équation de Maxwell-Gauss : ˆ{div \vec{E}= \frac {\rho}{\epsilon_o}}

Liens externes

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 11/11/2010.
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