Angles d'Euler

Le mouvement d'un solide comparé à un référentiel fait intervenir 6 paramètres, qui sont, par exemple, les trois coordonnées décrivant la position de son centre de masse et trois angles, appelés les angles d'Euler, cf.



Catégories :

Mécanique du solide - Système de coordonnées - Angle - Grandeur physique - Métrologie

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  • Ce choix des deux premiers angles d'Euler est particuli`erement important dans la mesure où il fait ap- paraıtre un nouvel axe de quantification : GzE2 = GzBF.... (source : lsd.univ-montp2)

Le mouvement d'un solide comparé à un référentiel fait intervenir 6 paramètres, qui sont , par exemple, les trois coordonnées décrivant la position de son centre de masse (ou d'un point quelconque du solide) et trois angles, appelés les angles d'Euler, cf. le schéma ci-contre. Les angles d'Euler peuvent aussi servir à représenter l'orientation d'un solide comparé à un repère ; on peut les voir comme une généralisation des coordonnées sphériques.

Mécanique du solide

Angles d'Euler

On s'intéresse uniquement ici à la description du mouvement du solide en rotation quelconque autour du point O, qui peut être un point fixe du solide dans le référentiel de référence Oxyz ou le centre de masse.

Les angles d'Euler sont choisis de manière à permettre une mémorisation simple de la construction du vecteur rotation instantané du solide, indispensable à l'étude de la cinématique du solide.

On passe du référentiel fixe Oxyz au référentiel lié au solide Ox'y'z' par trois rotations successives.

NB. L'axe Ou est porté par l'intersection des plans Oxy et Ox'y'

Dans ces conditions le vecteur rotation instantané du solide est donné par la simple somme :

\vec{\Omega} =\dot{\psi}\,\vec{z}+\dot{\theta}\,\vec{u}+\dot{\varphi}\,\vec{z'},

où les vecteurs apparaissant dans le membre de droite sont les vecteurs unitaires des axes correspondants. On remarquera que l'expression simple précédente utilise une base non orthogonale.

L'utilisation de ces angles est particulièrement générale en mécanique et en astronomie, par exemple pour décrire le mouvement du gyroscope.

Orientation cristalline

En science des matériaux, les angles d'Euler sont utilisés pour décrire l'orientation cristalline (orientation d'un cristallite comparé aux axes de l'échantillon), surtout dans le domaine de la texture (orientation préférentielle). Les angles sont alors généralement[1] notés (φ1, Φ, φ2) avec :

On utilise aussi quelquefois une autre variante dans laquelle la seconde rotation (nutation) se fait selon l'axe Ov au lieu de Ou ; les angles sont alors notés (Ψ, Θ, Φ) sans que cela ait un rapport avec les notations des mécaniciens, ce qui n'est pas sans risque de confusion.

Variantes des angles d'Euler

Notes

  1. il s'agit de la notation adoptée par Bunge dans son ouvrage Texture analysis in materials science, une référence dans le domaine

Voir aussi

Blocage de cardan

Lien externe

Une animation des angles d'Euler

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 11/11/2010.
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