Bissectrice

En mathématiques, de façon informelle, une bissectrice est une demi-droite qui coupe un angle en deux parties identiques.

Catégories :

Angle - Grandeur physique - Métrologie - Ligne droite - Théorème de géométrie

Page(s) en rapport avec ce sujet :

Comme la droite (Œ) est l'axe de symétrie de l'angle BOA alors (Œ) est la bissectrice cherchée. haut. Cas spécifiques : Bissectrices d'un triangle :... (source : mathsgeo)

La demi-droite en rouge coupe l'angle en deux parties identiques : il s'agit de la bissectrice de cet angle.

En mathématiques, de façon informelle, une bissectrice est une demi-droite qui coupe un angle en deux parties identiques. Cette notion peut être généralisée en nommant ainsi la droite qui se superpose à la demi-droite.

Définition

La bissectrice d'un secteur angulaire^[1] le partage en deux secteurs angulaires superposables. C'est une demi-droite issue du sommet du secteur angulaire.

Proposition : l'axe de symétrie d'un secteur angulaire porte la bissectrice de ce secteur angulaire.

Démonstration

Si A, B et I sont trois points non alignés, on note B'le symétrique de B comparé à la droite (AI).

Comme A est sur l'axe de symétrie, AB = AB'. Le triangle BAB'est par conséquent isocèle de sommet A
par construction, (AI) est un (l') axe de symétrie du triangle.
La symétrie axiale préserve les angles : ∠BAI = ∠IAB'. [AI) est par conséquent la bissectrice de l'angle en A

D'un coup de compas, on peut toujours faire apparaître un triangle isocèle dans un secteur angulaire. L'axe de symétrie du triangle isocèle est aussi axe de symétrie pour le secteur angulaire. CQFD

Remarque : Il peut être commode de décider d'appeler bissectrice tout l'axe et pas uniquement la demi-droite contenue dans le secteur angulaire.

Théorème de la bissectrice

Théorème de la bissectrice — Tout point de la bissectrice d'un angle^[2] est à égale distance des côtés de cet angle.

Démonstration

Démonstration du théorème de la bissectrice

On note $[Oz)\,$ la bissectrice de l'angle $\widehat{xOy} \,$ . $A\,$ est un point de $[Oz)\,$ . Soient $B\,$ et $C\,$ les projetés orthogonaux de $A\,$ respectivement sur $[Ox)\,$ et sur $[Oy)\,$ .

On sait que la distance de A à $[Ox)\,$ est AB ; de même la distance de A à $[Oy)\,$ est $AC\,$ .

par hypothèse, $\widehat{xOz} = \widehat{yOz}=\alpha\,$ .

Les relations trigonométriques dans les triangles rectangles OAC et OAB donnent : $AB = OA \times \sin(\alpha)\,$ et $AC = OA \times \sin(\alpha)\,$ par conséquent $AB = AC\,$ . CQFD

Réciproquement, un point équidistant des côtés de l'angle est sur la bissectrice de cet angle. on peut par conséquent énoncer :

Théorème de la bissectrice (bis) — La bissectrice d'un angle est la totalité des points à égale distance des côtés de cet angle.

Corollaire : La bissectrice [Oz) d'un angle xOy est le lieu des centres des cercles tangents aux côtés [Ox) et [Oy) de cet angle.

Preuve du corollaire

Soit M un point de la bissectrice. On construit le point H sur le côté [Ox) tel que la droite (MH) est perpendiculaire à la demi-droite [Ox). On construit de même le point H'sur le côté [Oy). Selon le théorème, MH = MH', par conséquent H et H'sont sur un même cercle C de centre M. De plus [Ox) est perpendiculaire au rayon [MH] par conséquent [Ox) est tangente au cercle C. De même [Oy) est tangente au cercle C.

Réciproquement, on suppose que C est un cercle de centre M, tangent à [Ox) en un point K et tangent à [Oy) en un point L. Comme (MK) est perpendiculaire à [Ox), MK est la distance de M à [Ox). De même ML est la distance de M à[Oy). Par hypothèse MK=ML par conséquent M est sur la bissectrice de xOy selon le théorème (bis). CQFD

Applications :

Construction au compas de la bissectrice
Les bissectrices d'un triangle se rencontrent au centre du cercle inscrit.

Construction géométrique

Animation montrant les étapes de la construction

Comme conséquence du théorème de la bissectrice, voici une méthode de construction à la règle et au compas de la bissectrice d'un angle.

Pointer le compas au sommet de l'angle et tracer un premier arc de cercle. Marquer les points d'intersection de cet arc avec les deux côtés de l'angle.
Pointer successivement le compas aux points d'intersection tracer deux arcs de cercle de même rayon (en gardant le même écartement du compas entre les deux opérations). Marquer le point d'intersection de ces deux arcs.
Relier le sommet de l'angle et le point d'intersection des deux derniers cercles et vous avez tracé la bissectrice de l'angle.

Il vous faut un compas, un crayon gris bien taillé, et une feuille.

Bissectrices de deux droites sécantes

Les bissectrices d'un couple de droites sécantes sont par définition les bissectrices des quatre secteurs angulaires définis par les deux droites. Il y a par conséquent stricto sensu quatre bissectrices pour deux droites, si on s'en tient à la première définition de bissectrice. Au cours de la preuve du théorème suivant on montre que ces quatre bissectrices sont portées par deux droites qu'on appellera bissectrices des droites sécantes.

Théorème — Les bissectrices d'un couple de droites sécantes sont perpendiculaires.

Démonstration

Notons (zx) et (ty) les deux droites. Elles se coupent en un point O. On appelle :

[Ou) la bissectrice de xOy
[Ou') la bissectrice de zOt
[Ov) la bissectrice d'yOz
[Ov') la bissectrice de tOx

Les angles xOy et zOt sont opposés par le sommet. Ils sont par conséquent égaux. Les angles xOu = 1/2 xOy et zOu'=1/2 zOt sont par conséquent aussi égaux. Comme [Ox) et [Oz) sont portées par une même droite il en va de même de [Ou) et [Ou') (on a aussi utilisé le fait que [Ou') est tracée dans le secteur zOt). Il en va de même pour les autres couples de bissectrices.

Par hypothèse, les angles zOy et yOx sont supplémentaires : zOy + yOx = 180°. Par conséquent uOv = uOy + yOv = 1/2 xOy + 1/2 yOz = 1/2 (xOy + yOz) = 180°/2 = 90°. CQFD

Bissectrices comme axes de symétrie de D u D'. — Si u et v sont deux vecteurs unitaires dirigeant respectivement D et D', alors u+v et u-v dirigent les axes de symétrie de la réunion D u D' (dessiner les losanges) .

On obtient ainsi la notion de bissectrice de deux droites affines sécantes sans passer par le point de vue naïf des angles géométriques. Le produit scalaire (u+v). (u-v) est nul comme u et v sont unitaires : les deux bissectrices sont orthogonales.

Bissectrices de deux droites et faisceaux harmoniques^[3] —

Si D et De sont deux droites sécantes et $\Delta\,$ , $\Delta '\,$ sont leurs bissectrices alors D, D', $\Delta\,$ et $\Delta'\,$ forment un faisceau harmonique.

Si D, D', $\Delta\,$ et $\Delta'\,$ forment un faisceau harmonique et si $\Delta\,$ et $\Delta'\,$ sont perpendiculaire alors $\Delta\,$ et $\Delta'\,$ sont les bissectrices de D et D'

Bissectrices d'un triangle

Cercles inscrit et exinscrits à un triangle — Dans un triangle,

les bissectrices intérieures sont concourantes, leur point d'intersection étant le centre du cercle inscrit dans le triangle. Ce cercle est tangent aux trois côtés du triangle.

Deux bissectrices extérieures concourent avec la bissectrice intérieure restante. On obtient ainsi les centres des trois cercles exinscrits au triangle.

Article détaillé : Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle.

Démonstration — Pour le premier point du théorème, le point d'intersection de deux bissectrices intérieures est à égale distance des trois côtés du triangle. Il est par conséquent aussi sur la troisième bissectrice intérieure. Un cercle centré au point de concours et tangent à un côté sera tangent aux deux autres (appliquer le corollaire du théorème de la bissectrice (bis) )

Théorème — Dans un triangle MAB avec I sur [AB], la droite (MI) est la bissectrice de l'angle en M si et uniquement si MA/MB = IA/IB.

Une preuve par le théorème de Thalès est donnée dans la page sur les divisions harmoniques. Le calcul de deux manières des aires des triangles MAI et MBI donne une autre démonstration élémentaire.

Applications :

On utilise extensivement la caractérisation précédente de la bissectrice dans l'étude du problème d'Apollonius : lieu des M tels que MA/MB = k.
Avec cette caractérisation de la bissectrice, on retrouve facilement la bissectrice d'un angle MFN, où M et N sont deux points sur une ellipse (d'une façon plus générale, conique propre) de foyer F et de directrice D et la construction de la tangente en un point d'une conique. ^[4]

Voir aussi

Notes et références

Stella Baruk, Dico de mathématiques : collège et CM2, Seuil, juin 2008 (ISBN 978-2-02-057401-3) , p. 28
Dans toute la suite, les angles seront reconnus saillants
Michèle Audin, Géométrie, EDP Sciences, 2006, 3^e éd. (ISBN 2-86883-883-9) , p. 213
Michèle Audin, Géométrie, EDP Sciences, 2006, 3^e éd. (ISBN 2-86883-883-9) , p. 235

Recherche sur Amazon (livres) :

Principaux mots-clés de cette page : bissectrice - angle - droite - points - triangle - cercles - théorème - conséquent - secteur - côtés - angulaire - axe - symétrie - compas - distance - xoy - demi - démonstration - construction - centres - tangents - intersection - sécantes - sommet - perpendiculaire - cqfd - inscrit - arc - zot - harmoniques -

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Bissectrice.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 11/11/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.