Comma

Un comma est une faible quantité qui s'exprime par une fraction arithmétique, le plus souvent rationnelle, dont la valeur est assez proche de l'unité.


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Un comma est une faible quantité qui s'exprime par une fraction arithmétique, le plus souvent rationnelle, dont la valeur est assez proche de l'unité.

En musicologie les commas  (plus correctement même  :  commata, au pluriel)   furent étudiés intensément, en particulier avant le règne de la gamme tempérée.
En métrologie, semblablement, le comma est une notion de la métrologie historique, concernant les mesures d'avant l'instauration du système métrique.

La définition de la valeur maximum de cette faible quantité, c'est-à-dire, de ce qui est comma et de ce qui ne l'est plus, dépend des champs d'applications.

Histoire

En métrologie historique la notion de comma est assez récente. Les ratios simples entre les mesures furent mentionnés dès l'Antiquité par Héron d'Alexandrie et bien d'autres. Les déductions des mesures anciennes entre elles, sont admises et reconnues par la métrologie historique contemporaine. Les mesures anciennes sont déduites, les unes des autres, par des ratios, dont et le numérateur et le dénominateur sont le plus souvent sept-lisse ou plus lisse, dans certains cas uniquement aussi onze-lisse. Il est évident que, obligatoirement, par le jeu des déductions prenant d'autres chemins pour arriver presque au même résultat, l'existence de commas est inhérent au dispositif. Malgré tout, pendant longtemps, ils furent négligés. Les petites incorrectitudes furent globalement, et sans examen approfondi, attribuées au mauvais travail des métrologues anciens.

Le premier à se soucier du comma métrologique fut certainement le métrologue historique allemand Rolf C. A. Rottländer[1]. Il forma, comme professeur de l'université de Tübingen, un groupe de travail interdisciplinaire, impliquent à la fois des métrologues historiques, des musicologues et des mathématiciens. Ce groupe de travail universitaire fut appelé «M. M. M.», pour «Mesure, Musique, Mathématiques»[1].   Il jouissait en outre du soutien financier externe de la GDCh, la Société des Chimistes Allemands. Ce groupe collecta et examina plus de mille règles graduées connues, le plus souvent issues de fouilles archéologiques. Pour délimiter volontairement la tâche énorme, ce groupe de travail se spécialisa en premier lieu à l'Antiquité, prenant en compte les mesures du Moyen Âge à condition uniquement, que les mêmes mesures semblables soient déjà attestées depuis l'Antiquité.

Principaux commas

En métrologie le comma enharmonique des musicologues n'est pas reconnu étant comma. En effet, le ratio 128 : 125 est bien connu des métrologues, car le pied d'Abydos et le pied ancien de roi par exemple l'entretiennent. La différence est de presque six millimètres ou précisément + 2, 4 %. C'est pour cela, les métrologues les identifient clairement comme deux mesures différentes, mesurant 326, 592 et 318, 9375 millimètres respectivement, cf. ce tableau synoptique. La même chose est vraie pour le comma syntonique et le comma pythagoricien des musicologues, respectivement, 81 : 80, soit + 1, 25 %  et  312 : 219, soit à peu près + 1, 36 %.   Si ces rapports sont bien observés, mais les métrologues parlent, en l'occurrence, de ratio, car les écarts sont trop importants pour être reconnus étant comma.

Le seuil de comma dépend du type de mesure. Pour les mesures unidimensionnels comme l'unité de longueur, il se situe à , maximum, ± 0, 17 %,   car cela forme d'un côté, la précision minimum atteinte dès l'Antiquité et durant le Moyen Âge, et de l'autre côté, aussi la précision minimum exigée pour de produits artisanaux soignés, cf. Tolérance. Cela dit, les métrologues producteurs d'étalons parvinrent, fréquemment et dès l'Antiquité, à des précisions trois ou quatre fois supérieures. Avec le volume par exemple, unité multidimensionnelle, le facteur de tolérance se multiplie corrélativement.

Cela explique, pourquoi le comma enharmonique et le comma syntonique des musicologues, par exemple, est bien connu aux métrologues comme simple ratio. En musique, il n'y a que douze demi-tons dans l'octave. La gamme dite bien tempérée repartie l'erreur, (ou bien, plus exactement, l'introduit pour de raisons pratiques, )   par la formule  :  douzième racine de deux.   Cela dit, chaque note a une fréquence de quelques 5, 95 % supérieur à la note plus grave, juste en dessous. Dans les gammes naturelles, tout écart inférieur est reconnu comme comma par les musicologues.

Comma ordinaire

Le comma ordinaire en métrologie ancienne est le ratio 2401 : 2400  ou son inversion 2400 : 2401, soit d'environ ± 0, 042 %.   Cet écart est , compte tenu des exigences anciennes, assez mince. C'est pour cette raison, ce ratio, en métrologie, est bien reconnu être un comma. Il se compose d'un nombre sept-lisse et d'un second nombre cinq-lisse, soit respectivement  :  74 = 2401  et  25 × 31 × 52 = 2400.

Ce comma peut s'introduire aisément par l'omniprésence de facteurs sept-lisses dans les ratios de déduction, comme par exemple les nombres vingt-huit et trente-cinq.

Comma graine de pavot

Le comma dit graine de pavot est de  4375 : 4374. C'est un comma aussi assez habituel en métrologie ancienne. Il implique un nombre sept-lisse et un autre nombre, trois-lisse ce dernier.   Soit  :  7 × 54  =  4375 et 2 × 37  =  4374.   Ce comma est par conséquent d'environ ± 0, 023 %.

Comma métrique

Le comma dit métrique est de  250 047 : 250 000.   Il implique un nombre sept-lisse et un autre nombre cinq-lisse ce dernier.   Soit  :  36 × 73  =  250 047 et 24 × 56  =  250 000.   Ce comma est par conséquent de  + 0, 018 8 %  précisément, ou bien, dans son inversion, d'environ  - 0, 018 796 5  pour-cent.

En développant ce ratio, on obtient aussi  :  1 000 188  :  1 000 000.   Ce petit comma métrologique est spécifiquement intéressant. Cela pour deux raisons  :

  1. Ce comma exprime idéalement le ratio entre deux valeurs conventionnelles envisageables du pied Drusien, respectivement  :  2 -1 × 3 5 × 5 -3 × 7 3 = 333, 396 millimètres  et 2 3 × 3 -1 × 5 3 = 333   millimètres. La première valeur, la valeur sept-lisse, est beaucoup préférable en métrologie historique. La valeur cinq-lisse serait envisageable aussi, car elle rentre aussi à l'intérieur du cœfficient de variation déterminé pour les mesures anciennes. Mais la première valeur se révèle d'être bien plus pratique. En effet, la seconde valeur, dépourvue des facteurs trois et sept, à la première division par sept, donne  47 13  21 = 47,  619 047.   Si cette valeur, avec une périodicité à six chiffres uniquement, resterait plutôt gérable, à la seconde division par sept, on obtient  6 118  147.  Cette fraction rationnelle, quand elle est exprimée en fraction décimale provoque une période sur quarante-deux chiffres, par conséquent totalement ingérable. Si enfin, on doit, dans une troisième déduction, diviser le résultat toujours par sept, ce qui n'a, en métrologie ancienne, rien d'extraordinaire, on obtient  1000  1029, soit une période décimale sur 294 chiffres. (Sic !)   La même opération, en partant de la valeur originellement sept-lisse, donne respectivement les valeurs limpides de 47, 638 mm, de 6, 804 mm et de 0, 972 mm, sans arrondi nouveau. Cet exemple démontre que dans la métrologie historique, les valeurs conventionnelles lisses sont toujours préférables aux valeurs arrondies à une décimale quelconque près. Sauf, évidemment, quand on parle d'un seul spécimen précis, mesuré scientifiquement avec la meilleure précision envisageable.
  2. Ce même comma métrique comble aussi quasiment toute l'erreur, [2] qui est de l'ordre de moins 0, 02 pour-cent, des mesures de Delambre et Méchain, effectuées entre Dunkerque et Barcelonne à la fin du XVIIIe siècle pour la définition exacte du mètre décimal, devenu loi en l'An VIII (1799).

Ce comma métrique ne forme, en réalité, qu'un raccourci pratique. Il s'agit, en fait, d'une simple combinaison des deux commas importants qui ont précédé, soit le comma ordinaire multiplié par le comma grain de pavot inversé, car  :   1, 000188  =   (2401 ÷ 2400)  ×  (4374 ÷ 4375) .

Autres commas

Comma onze-lisse

Le comma onze lisse le plus habituel implique même un nombre onze à la puissance de deux, soit cent vingt-et-un.
Le comma onze lisse : 3025 : 3024 ≅ 1, 0003307, soit à peu près plus  0, 0331 pour-cent. Le premier nombre du ratio égale 5 2 × 11 2 et le second nombre égale 2 4 × 3 3 × 7.

Les métrologues de Louis XIV, lors de la réforme, colbertienne, de la toise en 1668, choisirent manifestement un pied néo-romain affecté du comma onze-lisse 3025 : 3024.
Car, abstraction faite du supplémentaire comma légal français (voir plus bas), le pied nouveau de roi mesura 297, 675 ×  (3025 ÷ 3024)   ×   (12 ÷ 11)  = 324, 84375 millimètres.

Commas : 13, 17, 19.

Les commas tels que comma 13, comma 17, comma 19, ou alors comma 23, etc. sont en fait des faux commas. Car aucun métrologue de formation ne choisissait jamais d'introduire délibérément dans les déductions de mesures, un nombre premier tellement encombrant. Les facteurs premier deux, trois et cinq sont inclus dans le système sexagésimal respectant les traditions. Ils sont omniprésent dans, et partie intégrante du dispositif de mesure ancien, qui visa les nombres hautement composés. L'introduction des deux nombres premiers suivants, sept et onze, fut une obligation, surtout par la triangulation rationnelle du carré pratiqué pendant des millénaires. Si bien, les métrologues bien avertis éliminèrent déjà le facteur onze de l'ensemble des autres unités de longueur, par la création délibérée d'une perche astucieusement onze-lisse elle-même, par conséquent de 16½  ou de 22 pieds.

Quelques mauvais ouvrages vulgarisateurs de l'époque moderne mentionnent quelquefois des ratios d'une lissité supérieurs à onze, comme par exemple l'improbable ratio  13  : 19.  Les commas suivants visent uniquement à restituer les déductions métrologiques réelles.

  Comma 13-lisse :   4096 : 4095  =  1, 0002442,  soit à peu près plus  0, 0224 pour-cent.    Facteurs :    2 12   :   3 2  ×  5  × 
7
 ×  13
  Comma 17-lisse :   1701 : 1700  ≅  1, 0005882,  soit à peu près plus  0, 0588 pour-cent.    Facteurs :    7  ×  3 5   :   2 2  ×  5 2  ×  17
  Comma 19-lisse :   1216 : 1215  ≅  1, 0008230,  soit à peu près plus  0, 0820 pour-cent.    Facteurs :    19  ×  2 6   :   3 5  ×  5

La combinaison avec un des commas principaux peut quelquefois être judicieux pour la compréhension d'une déduction.  Exemple :  (1701 ÷ 1700)  ×  (2400 ÷ 2401)     5832 ÷ 5831,   soit  0, 0171 %.
Quand une mesure locale fut supplantée par la mesure d'un pays conquérant par exemple, on officialisa quelquefois même ces ratios inhabituels. L'ancienne mesure fut redéfinit, valant e. g.   (24 × 17 =)   408, 0  pouces du nouveau pied dominant, au lieu de , correctement,   408 ⅓  pouces.

Commas légaux

Les commas légaux des anciennes mesures expriment le ratio entre les valeurs légales et les valeurs particulièrement lisses les plus proches.  Ainsi :

La verge anglo-saxonne, yard en anglais, fut définit légalement en 1959 valant 0, 9144 mètres précisément. [3]
Le comma légal anglo-saxon :  15 876 : 15 875  ≅  1, 000062992, soit à peu près 0, 0063 pour-cent.   Le premier nombre du ratio égale 2 2 × 3 4 × 7 2 et le second nombre égale 5 3 × 127 .

La toise autrichienne fut définit par la loi métrologique autrichienne du 23 juillet 1871, valant 1, 896 483 84 mètres précisément. [4]
Le comma légal autrichien :  123 480 : 123 469  ≅  1, 000089091, soit à peu près 0, 0089 pour-cent.   Le premier nombre du ratio égale 2 3 × 3 2 × 5 × 7 3 et le second nombre égale 37 × 47 × 71 .

La loi du 19 frimaire An VIII  (10 déc. 1799)   stipula que le mètre soit égal à  «une longueur de 3 pieds 11, 296 lignes de la Toise de l'Académie»[5],   d'où un pied de roi est à peu près 324, 839 385 mm.
Le comma légal français :  3 200 043 : 3 200 000 =   1, 0000134375, soit à peu près 0, 0013 pour-cent.   Le premier nombre du ratio égale 1979 × 11 × 7 2 × 3 et le second nombre égale 2 10 × 5 5.

Notez que le pied polonais n'a pas de comma légal. Avec sa valeur légale de 288, 0 mm, il est d'une lissité exquise. Tout au plus, pour une question pratique, il conviendrait de lui restituer son comma ordinaire.
Puisque le pied polonais est directement déduit du pied romain par la triangulation rationnelle du carré :  ( ( (296, 352 × 16½)  ÷ 99)   × 70)   ÷ 12 = 288, 12 millimètres. Leur ratio historique est par conséquent bien de 35 : 36.
Un hypothétique ratio de 1000 : 1029  entre le pied polonais et le pied romain est définitivement exclus par le rasoir d'Ockham.

Comma métrologique et précision

La présence de commas n'affecte pas la bonne précision relative de la métrologie ancienne dans son ensemble. En effet, on pourrait croire que par un effet accumulatif de commata, l'ensemble des précisions partiraient infailliblement à la dérive, invalidant dans son ensemble toute la métrologie ancienne. Cela ne fut pas le cas ! La raison en est particulièrement simple. L'ensemble des métrologues, dès la plus haute Antiquité, à chaque fois qu'ils établirent un nouvel étalon, se rassurèrent en le comparent à plusieurs autres grandes mesures connus et pratiqués dans les pays environnants. En étudiant et en connaissant idéalement les ratios avec les mesures de leurs voisins, le dispositif ancien de mesure se pratiqua durant des millénaires, avec une précision admirable.

Notes et références

  1. Bibliographie sur uni-kœln. de  de vingt-trois de ses publications et  M M M, Édition Ordo et Mensura, St. Katharinen, 1991  surtout.
  2. Selon WGS 84, la circonférence de la Terre, en passant par les pôles, mesure  40 007 863 mètres. .  Quatre fois 10 001 880 égale  40 007 520 mètres. Il reste un écart de  85, 75 mètres à la distance entre équateur et pôle, contre près de deux kilomètres suivant la loi de 1799.
  3. Avant 1959, les définitions concrètes du yard divergèrent dans les différents pays anglo-saxons, mais aux valeurs presque semblable.  Cf. US : Federal Register, July 1, 1959 & GB : Public General Acts and Measures, 1963.
  4. La toise autrichienne s'appelle Klafter. Pour sa définition légale, cf. Reichsgesetzblatt 16, Artikel IV, Seite 30,  sur le site de la Bibliothèque Nationale d'Autriche.
  5. D'où la toise mesure 54 000 ÷ 27 706 m, soit à peu près 1, 94903631 mètres,  cf. Un historique du mètre, par Denis Février sur www. industrie. gouv. fr.

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