Déterminant

En mathématiques, le déterminant fut originellement introduit en algèbre, pour déterminer si un système d'équations linéaires comportant tout autant d'équations que d'inconnues admet une unique solution.



Catégories :

Algèbre multilinéaire - Déterminant - Volume - Grandeur physique - Métrologie

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Le déterminant vaut : 1 × 2 - 1 × 2 = 0. La matrice est bien singulière. La seconde équation est égale à la... (source : unilim)
  • Théorème : Le déterminant d'une matrice carrée A... Si rg A < n, un des vecteurs -colonne de A est ... (source : wims.unice)
  • ... Définition 3.5.3 Le déterminant d'une matrice carré est défini par le déterminant de ses vecteurs colonnes. Proposition 3.5.4 Soit I la... (source : meca.unicaen)

En mathématiques, le déterminant fut originellement introduit en algèbre, pour déterminer si un système d'équations linéaires comportant tout autant d'équations que d'inconnues admet une unique solution. Il se révèle un outil particulièrement puissant dans de nombreux domaines (étude du déterminant d'un endomorphisme et recherche de ses valeurs propres, définition du déterminant de certaines familles de vecteurs, calcul différentiel).

Comme pour de nombreuses opérations, le déterminant peut être défini par une collection de propriétés (axiomes) qu'on résume par le terme «forme n-linéaire alternée». Cette définition permet d'en faire une étude théorique complète et d'élargir toujours ses champs d'applications. Mais le déterminant peut aussi se concevoir comme une généralisation à l'espace de dimension n de la notion de surface ou de volume orientés. Cet aspect, fréquemment négligé, est une approche pratique et éclairante des propriétés du déterminant.

Histoire des déterminants

Les déterminants furent introduits en Occident à partir du XVIe siècle, soit bien avant les matrices, qui n'apparaissent qu'au XIXe siècle. Il convient de rappeler que les Chinois furent les premiers à utiliser des tableaux de nombres ainsi qu'à appliquer un algorithme désormais connu sous le nom de procédé d'élimination de Gauss-Jordan.

Premiers calculs de déterminants

Dans son sens originel, le déterminant détermine l'unicité de la solution d'un système d'équations linéaires. Il fut introduit dans le cas de la taille 2 par Cardan en 1545 dans son Ars Magna, sous forme d'une règle pour la résolution de dispositifs de deux équations à deux inconnues[1]. Cette première formule porte le nom de regula de modo.

Le japonais Kowa Seki introduit le premier des déterminants de taille 3 et 4, à la même époque que l'Allemand Leibniz.

La naissance des déterminants de taille supérieure demande ensuite plus de cent ans. Curieusement le Japonais Kowa Seki et l'Allemand Leibniz en donnèrent les premiers exemples presque simultanément.

Leibniz étudie de nombreux dispositifs d'équations linéaires. En l'absence de notation matricielle, il représente les cœfficients inconnus par un couple d'indices : il note ainsi ij pour ai, j. En 1678, il s'intéresse à un dispositif de trois équations et trois inconnues et donne, sur cet exemple, la formule de développement suivant une colonne. La même année, il rédige un déterminant de taille 4, correct aux signes près[2]. Leibniz ne publie pas ces travaux, qui semblent avoir été oubliés avant que les résultats soient redécouverts indépendamment une cinquantaine d'années plus tard.

À la même période, Kowa Seki publie un manuscrit sur les déterminants, où il décrit une formulation générale complexe à interpréter. Celle-ci semble donner des formules correctes pour des déterminants de taille 3 et 4, et de nouveau des signes erronés pour les déterminants de taille supérieure[3]. La découverte restera sans lendemain, à cause de la coupure du Japon avec le monde extérieur.

Déterminants de taille quelconque

En 1748, un traité d'algèbre posthume de MacLaurin relance la théorie des déterminants, avec l'écriture correcte de la solution d'un dispositif de quatre équations et quatre inconnues[4].

En 1750, Cramer formule les règles qui permettent de résoudre un dispositif de n équations et n inconnues, mais sans en donner la démonstration[5]. Les méthodes de calcul des déterminants sont alors délicates, puisque fondées sur la notion de signature d'une permutation[6].

Les mathématiciens s'emparent de ce nouvel objet, avec des articles de Bézout en 1764[7], de Vandermonde en 1771[8] (étonnamment ne donnant pas le calcul du déterminant de la matrice de Vandermonde actuelle[9]). En 1772, Laplace établit les formules de récurrence portant son nom. L'année suivante, Lagrange découvre le lien entre le calcul des déterminants et des volumes[10].

Gauss utilise pour la première fois le mot «déterminant», dans les Disquisitiones arithmeticæ en 1801. Il l'emploie pour ce que nous qualifions actuellement de discriminant d'une quadrique et qui est un cas spécifique du déterminant moderne. Il est aussi près d'obtenir le théorème sur le déterminant d'un produit. [11]

Mise en place de la notion moderne de déterminant

Cauchy emploie le premier le mot déterminant dans son sens moderne. On peut ainsi lire dans son article de synthèse de plus de quatre-vingts pages sur cette question :

«M. Gauss s'en est servi avec avantage dans ses Recherches analytiques pour découvrir les propriétés générales des formes du second degré, c'est-à-dire des polynômes du second degré à deux ou plusieurs variables, et il a désigné ces mêmes fonctions sous le nom de déterminants. Je conserverai cette expression qui apporte un moyen facile d'énoncer les résultats ; j'observerai uniquement qu'on donne aussi parfois aux fonctions dont il s'agit le nom de résultantes à deux ou à plusieurs lettres. Ainsi les deux expressions suivantes, déterminant et résultante, devront être regardées comme synonymes. [12]»

Elle représente une synthèse des connaissances antérieures, mais aussi des propositions nouvelles comme le fait que l'application transposée ne modifie pas le déterminant mais aussi la formule du déterminant d'un produit. Binet propose aussi une démonstration cette même année. Plus tard, Cauchy jette les bases de l'étude de la réduction d'endomorphismes[13].

En publiant ses trois traités sur les déterminants en 1841 dans le journal de Crelle, Jacobi donne une véritable notoriété à la notion[11]. Pour la première fois, il présente des méthodes de calcul systématiques, sous forme algorithmique. Il devient aussi envisageable d'évaluer des déterminants de fonctions avec l'apparition du jacobien.

De 1832 à 1844, les travaux de Grassmann, fondent l'algèbre extérieure et donnent un sens plus général aux déterminants au travers de la représentation des grassmanniennes

Le cadre matriciel est introduit par les travaux de Cayley et Sylvester. Cayley est aussi l'inventeur de la notation des déterminants par des barres verticales ; il établit la formule de calcul de l'inverse.

La théorie s'étoffe par l'étude de déterminants ayant des propriétés de symétrie spécifiques et par l'introduction du déterminant dans de nouveaux champs des mathématiques, comme le wronskien pour les équations différentielles linéaires.

Premiers exemples : aires et volumes

Les calculs d'aires et de volumes sous forme de déterminants dans des espaces euclidiens apparaissent comme des cas spécifiques de la notion plus générale de déterminant. Pour les distinguer, la lettre majuscule D (Det) leur est quelquefois réservée.

Déterminant de deux vecteurs dans le plan euclidien

Fig. 1. Le déterminant est l'aire bleue orientée.

Soit P le plan euclidien orienté courant. Le déterminant des vecteurs X et X' est donné par l'expression analytique

\det(X,X')=\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y'\end{vmatrix}=xy'-yx'

ou, de façon équivalente, par l'expression géométrique

\det(X,X')=\|X\|\cdot\|X'\|\cdot\sin \theta

dans laquelle θ est l'angle orienté constitué par les vecteurs X et X'.

Propriétés

En effet cette annulation apparaît comme un simple test de proportionnalité des composantes des vecteurs par produit en croix.
\det(aX+bY,X')=a\det(X,X')+b\det(Y,X')\;

et celle comparé au second vecteur s'écrit

\det(X,aX'+bY')=a\det(X,X')+b\det(X,Y')\;
Fig. 2. Somme des aires de deux parallélogrammes adjacents.

La figure 2, dans le plan, illustre un cas spécifique de cette formule. Elle représente deux parallélogrammes adjacents, l'un défini par les vecteurs u et v (en vert), l'autre par les vecteurs u'et v (en bleu). Il est aisé de visualiser sur cet exemple l'aire du parallélogramme défini par les vecteurs u+u'et v (en gris)  : elle est égale à la somme des aires des deux parallélogrammes qui ont précédé, à laquelle est retirée l'aire d'un triangle, et ajoutée l'aire d'un autre triangle. Les deux triangles se correspondant par translation, la formule suivante est vérifiée det (u + u', v) = det (u, v) + det (u', v) .

Ce dessin correspond à un cas spécifique de la formule de bilinéarité puisque les orientations ont été choisies de manière à ce que les aires aient le même signe, mais il aide à en saisir le contenu géométrique.

Généralisation

Il est envisageable de définir la notion de déterminant dans un plan euclidien orienté pourvu d'une base orthonormale directe B, en utilisant les coordonnées des vecteurs dans cette base. Le calcul de déterminant donne le même résultat quelle que soit la base orthonormale directe choisie pour le calcul.

Déterminant de trois vecteurs dans l'espace euclidien

Soit E l'espace euclidien orienté courant de dimension 3. Le déterminant de trois vecteurs de E est donné par

\begin{align}
\det(X,X',X'') &= \begin{vmatrix} x & x' & x'' \\ y & y' & y'' \\ z & z' & z''
\end{vmatrix}=x \begin{vmatrix} y' & y'' \\ z' & z'' \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} x' & x'' \\ z' & z'' \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} x' & x'' \\ y' & y'' \end{vmatrix} \\
&= x(y'z''-y''z')-y(x'z''-x''z')+z(x'y''-x''y')\\
&= xy'z''+x'y''z+x''yz'-xy''z'-x'yz''-x''y'z.
\end{align}
Fig. 3. Illustration graphique de la trilinéarité.

Ce déterminant porte toujours le nom de produit mixte ; la formule de calcul correspondante est connue sous le nom de règle de Sarrus.

Propriétés

det (aX + bY, X', X'') = adet (X, X', X'') + bdet (Y, X', X'')

Une illustration géométrique de cette propriété est donnée en figure 3, par deux parallélépipèdes adjacents, c'est-à-dire possédant une face commune. L'égalité suivante devient intuitive

det (u + u', v, w) = det (u, v, w) + det (u', v, w) .

Interprétation du signe du déterminant : orientation

Article détaillé : orientation (mathématiques) .

Dans le plan, le signe du déterminant s'interprète comme le signe de l'angle orienté.

Dans l'espace à trois dimensions, le cube unité sert de référence. Son déterminant vaut un. Un parallélépipède non plat possède un déterminant positif s'il est envisageable de l'obtenir en déformant continûment, sans jamais l'aplatir, le cube unité.

Le déterminant est au contraire négatif s'il est indispensable d'appliquer en plus une symétrie, c'est-à-dire si le cube unité ne peut être obtenu qu'en déformant le parallélépipède, puis en observant le résultat de cette déformation dans un miroir.

Fig. 4. Il est envisageable de passer du cube jaune au parallélépipède vert par déformation continue. Ce n'est pas envisageable pour le parallélépipède rouge qui est l'image miroir du vert.

Approche intuitive du déterminant d'une application linéaire

Une application linéaire est une application qui transforme les coordonnées d'un vecteur de manière linéaire. Par exemple dans l'espace de dimension 3, l'application est linéaire si les coordonnées x, y et z d'un vecteur ont pour image x', y'et z'avec :

\begin{matrix} x'= ax + by +cz\\ y'= dx + ey+fz \\z'=gx+hy+iz \end{matrix}

où a, b, c, ..., i sont des nombres. La figure suivante illustre deux cas de telles applications linéaires.

Dans le premier cas, le cube jaune est transformé en un parallélépipède illustré en vert. Dans le deuxième cas, le cube jaune est transformé en un volume aplati, un carré rouge (c'est-à-dire que certains des sommets du cube d'origine ont la même image par l'application linéaire). Ces deux cas correspondent à des situations différentes en mathématique. La première fonction du déterminant est d'apporter un moyen de séparer ces cas.

Fig. 5. Exemple d'applications linéaires : La première transforme le cube jaune en un volume vert la seconde en un volume aplati rouge.

Pour être plus précis, le déterminant d'une application linéaire est un nombre, qui représente un facteur multiplicatif pour les volumes. Si le cube jaune est de volume 1, alors le volume de l'image du cube vert est la valeur absolue du déterminant de la première application. La seconde application a un déterminant nul, ce qui correspond à un aplatissement des volumes.

Le signe du déterminant est positif s'il est envisageable de déformer continûment le cube jaune pour obtenir le vert. Il est au contraire négatif s'il est indispensable d'y appliquer en plus une symétrie.

En fait cette propriété n'est pas seulement vraie pour le cube unité jaune. Tout volume transformé par une application linéaire est multiplié par la valeur absolue du déterminant.

Le déterminant existe pour les applications linéaires d'un espace dans lui même dans le cas de l'ensemble des dimensions finies. En effet, la notion de volume peut être généralisée : ainsi un «hypercube» ayant ses arêtes de longueur 2 dans un espace euclidien de dimension n aurait un déterminant (sorte d'«hypervolume») de 2n. Par contre si l'espace contient une illimitété de dimensions, alors le déterminant n'a plus de sens.

Cadre d'utilisation

Déterminant et équations linéaires

Il existe un cas de calcul numérique particulièrement habituel pour les ingénieurs, les physiciens ou les économistes. Il s'agit de la résolution d'un système d'équations linéaires. Si le dispositif possède tout autant d'équations que de variables, on peut espérer avoir l'existence et l'unicité d'une solution. Mais ce n'est pas forcément le cas, par exemple en cas de répétition de la même équation, plusieurs solutions conviendront.

Plus exactement, à un dispositif de n équations et n inconnues peut être associé un déterminant. L'existence et l'unicité de la solution est obtenue si et uniquement si le déterminant est différent de 0. Ce problème est l'origine historique de l'introduction des déterminants.

Il est envisageable, non seulement de garantir l'existence et l'unicité de la solution, mais la règle de Cramer apporte un calcul exact de la solution avec déterminants. Cette méthode n'est ni la plus rapide, ni la plus simple, elle est peu pratiquée pour les calculs explicites, elle est néanmoins utile pour établir certains résultats théoriques, telle que la dépendance comparé aux paramètres.

Lien avec l'aplatissement des volumes

Un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues peut être mis sous forme d'une équation linéaire u (X) =BX= (x, y, z) est un vecteur dont les composantes sont les inconnues du dispositif, u une application linéaire de l'espace et B un vecteur. La résolution du dispositif peut être formulée de façon géométrique : le vecteur B est-il l'image d'un certain vecteur X par u ? Ce dernier est-il unique ? Le déterminant de u apporte la réponse : l'existence et l'unicité sont obtenues si et uniquement s'il est non nul.

La figure 5 permet une approche intuitive de ce résultat. Il suffit de considérer un pavage de l'espace par le cube jaune et ses images par des translations selon les trois directions. Une famille de cubes jaunes adjacents remplissent alors tout l'espace.

D'une façon plus générale, pour un dispositif de n équations et n inconnues, le déterminant indique si les images par u remplissent l'espace entier ou uniquement un sous-espace.

Déterminant et réduction

Les applications linéaires apparaissent non seulement en géométrie élémentaire mais également dans de nombreux domaines avancés comme certaines résolutions d'équations différentielles, la définition d'algorithmes rapides ou la résolution de problèmes théoriques. Il est important de comprendre leur comportement.

Un outil d'analyse fécond consiste à répertorier les axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les longueurs des vecteurs par une constante. Ce rapport de dilatation est nommé valeur propre et les vecteurs auxquels il s'applique vecteurs propres.

Le phénomène d'aplatissement des volumes peut être mesuré par un déterminant. Il correspond au cas où, selon une certaine direction, les vecteurs sont multipliés par un rapport de dilatation égal à 0 (valeur propre nulle). D'une façon plus générale, l'ensemble des valeurs propres peuvent être obtenues par le calcul d'un déterminant à paramètre, nommé polynôme caractéristique.

Déterminant et intégrale multiple

Fig. 6. Jacobien.

Mais aussi le montre l'approche intuitive, le déterminant caractérise la modification de volume d'un parallélépipède par un endomorphisme. L'intégrale multiple est un outil de détermination des volumes dans le cas général. Elle utilise la notion de déterminant dans le cadre du changement de variables. Il prend alors le nom de jacobien. Il peut être imaginé comme le rapport des volumes élémentaires avant et après changement de variables, en usant de la terminologie des éléments différentiels.

Plus exactement, le comportement d'une application différentiable au voisinage d'un point est au premier ordre, analogue en termes de modification de volume, à une application linéaire ayant comme déterminant le jacobien.

Déterminant et amortissement dans les équations différentielles

Fig. 7. Exemple du pendule de longueur variable, sans amortissement. En bleu et en rouge sont représentées deux solutions spécifiques, dans l'espace des phases. L'aire constituée par les deux solutions reste constante au cours du temps

En physique, surtout en mécanique du point, l'équation différentielle linéaire d'ordre deux est fréquente. Elle se présente sous la forme y''= ay'+ by + c, dans laquelle a, b, c peuvent être des cœfficients constants ou d'une façon plus générale des fonctions (par exemple du temps). Le terme a est nommé facteur d'amortissement.

Cette équation différentielle est associée à un déterminant, nommé wronskien. Il s'interprète comme une aire dans le plan (y, y') nommé espace des phases par les physiciens. Cette aire reste constante au cours du temps si le terme d'amortissement est nul, elle décroît de façon exponentielle s'il est strictement positif. S'il n'est pas forcément envisageable d'exhiber une solution explicite, le wronskien est toujours calculable.

Le wronskien peut être généralisé à l'ensemble des équations différentielles linéaires.

Définition du déterminant

Origine de la construction du déterminant

Les notions de parallélogramme et de parallélépipède sont généralisées à un espace vectoriel E de dimension finie n sur \mathbb{R}. À n vecteurs x1, ..., xn de E est associé un parallélotope. Il est défini comme la partie de E constituée par la totalité des combinaisons des xi à cœfficients compris entre 0 et 1

P=\left\{x=\sum_{i=1}ˆn t_i x_i \Bigg|\,  \forall i , 0\leq t_i \leq 1\right\}

Il convient de voir dans ce parallélotope une sorte de pavé oblique.

Quand l'espace est pourvu d'un produit scalaire, il est envisageable de définir le volume de ce parallélotope, quelquefois nommé son hypervolume pour souligner que la dimension de l'espace concerné n'est pas nécessairement 3. Il vérifie les propriétés suivantes :

Un changement de produit scalaire sur l'espace E modifie les mesures de longueurs, angles, et donc de volumes. Cependant la théorie des déterminants montrera qu'à une constante multiplicative près, il n'existe qu'une unique méthode de calcul des volumes dans un espace vectoriel de dimension n.

En reprenant un espace vectoriel sans structure spécifique, la notion de déterminant a pour objectif de donner un sens intrinsèque au «volume» du parallélotope, sans référence à un produit scalaire par exemple, c'est-à-dire de construire une fonction f, qui à x1, ..., xn associe un réel, et vérifie les propriétés précédentes. Une telle application est nommée une forme n-linéaire alternée.

Formes n-linéaires alternées

La notion de forme n-linéaire alternée généralise les propriétés précédentes. Elle se définit comme une application de En dans \mathbb{R}, qui est :

f(x_1,\dots,x_{i-1}, ax_i+bx'_i,x_{i+1}, \dots, x_n )=a f(x_1, \dots, x_n) + bf(x_1, \dots,x'_i,\dots x_n) \;
[\exists i\neq j, x_i=x_j] \Rightarrow f(x_1,\dots, x_n)=0

L'article application multilinéaire procède à l'étude systématique des formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n.

Le résultat principal est la possibilité de ramener le calcul de l'image de (x1, ..., xn) à celui d'images des vecteurs de base par n-linéarité. En outre le caractère alterné sert à changer l'ordre des vecteurs, de sorte qu'il suffit de connaître l'image f (e1, ..., en) des vecteurs d'une base, pris dans l'ordre, pour connaître f. Remettre les vecteurs dans l'ordre fait intervenir la notion de permutation.

Théorème

La totalité An (E) des formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n forme un espace vectoriel de dimension 1.

De plus, si (e_{1},\dots,e_{n}) est une base de E, on peut exprimer l'image d'un n-uplet de vecteurs par

f(x_1,\dots,x_n )=  \left(\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}ˆn X_{\sigma(j),j} \right) f(e_{1},\dots,e_{n})

avec Xij la i-ème composante de xj et \varepsilon(\sigma) qui dénote la signature de la permutation σ (un pour une permutation paire, -1 pour une impaire).

Déterminant d'une famille de n vecteurs dans une base

Définition

On suppose E pourvu d'une base B=(e_{1},\dots,e_{n}). L'application déterminant en base B est l'unique forme n-linéaire alternée sur E vérifiant detB (e1, ..., en) = 1, abrégé en detB (B) = 1

Il faut se représenter cette quantité comme une sorte de volume de pavé, assez à la base B.

Formule de Leibniz

Gottfried Leibniz introduit les premiers déterminants de taille 3 et plus

Soient x1, ... xn des vecteurs de E. Il est envisageable de représenter ces n vecteurs par n matrices colonnes, formant par juxtaposition une matrice carrée X.

Le déterminant de x1, ... xn assez à la base B vaut alors

\det{}_B(x_1,\dots, x_n)=\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}ˆn X_{\sigma(j),j}

Cette formule porte quelquefois le nom de Leibniz. Elle présente peu d'intérêt pour le calcul pratique des déterminants, mais permet d'établir plusieurs résultats théoriques.

En physique, on rencontre fréquemment la formule de Leibniz exprimée à l'aide du symbole de Levi-Civita, en utilisant la convention d'Einstein pour la sommation des indices :

\det(A)=\epsilonˆ{i_1\cdots i_n}{Aˆ{1}}_{i_1}\cdots {Aˆ{n}}_{i_n}

Formule de changement de base

Si B et B' sont deux bases de E, les applications déterminants correspondantes sont proportionnelles (avec un rapport non nul)

\det{}_{B'}(x_1,\dots, x_n)=\det{}_{B'}(B)\times \det{}_{B}(x_1,\dots, x_n)\,

Ce résultat est conforme à l'interprétation en termes de volume relatif.

Déterminant d'une matrice

Article détaillé : Calcul du déterminant d'une matrice.

Soit une matrice A= (aij) carrée d'ordre n à cœfficients réels. Les vecteurs colonnes de la matrice peuvent être identifiés à des éléments de l'espace vectoriel \mathbb{R}ˆn. Ce dernier est pourvu d'une base canonique.

Il est alors envisageable de définir le déterminant de la matrice A comme le déterminant du dispositif de ses vecteurs colonnes assez à la base canonique. Il est noté det (A) dans la mesure où il n'y a pas d'ambiguïté sur la base de référence.

Par définition même, le déterminant dépend de façon linéaire de chaque colonne, et est nul quand deux colonnes sont identiques. Le déterminant de la matrice identité vaut un. Enfin il vérifie la formule de Leibniz

\det(A)=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} 
\varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}ˆn a_{ \sigma(i),i}

Ce déterminant se note souvent avec des barres verticales :

\det \begin{bmatrix} m_{1;1} & \cdots & m_{1;n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n;1} & \cdots & m_{n;n} \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} m_{1;1} & \cdots & m_{1;n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n;1} & \cdots & m_{n;n} \end{vmatrix}

La présentation matricielle apporte une propriété principale : une matrice a même déterminant que sa transposée

\det A = \det \left({}ˆt{A}\right)\,

Ce qui veut dire que le déterminant de A se voit aussi comme le déterminant du dispositif des vecteurs lignes, assez à la base canonique.

Déterminant d'un endomorphisme

Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. L'ensemble des matrices représentatives de u ont le même déterminant. Cette valeur commune est nommée déterminant de u.

Le déterminant de u est la valeur par laquelle u multiplie les déterminants de vecteurs

\det{}_B(u(x_1),\dots, u(x_n))=\det u \times \det{}_B(x_1,\dots, x_n)\,

Surtout les endomorphismes de déterminant 1 conservent le déterminant des vecteurs. Ils forment un sous groupe de Gl (E) , noté Sl (E) , et nommé groupe spécial linéaire. Dans un espace réel de dimension deux, ils se conçoivent comme les applications linéaires conservant les aires orientées, en dimension trois les volumes orientés.

On démontre que ce groupe est génèré par les transvections, dont la matrice dans une base adaptée est de la forme

\begin{bmatrix}
1 &  &  & &   \\ 
& 1 &  \lambda  &  \\ 
&  & . &  &  \\ 
&  &  & 1 &  \\ 
&  &  &  & 1 
\end{bmatrix}=I_n+\lambda E_{ij}
Effet d'une transvection dans l'espace (conservation du volume)
Fig. 8. Cube avant transvection
Fig. 9. Cube après transvection

Par construction même du déterminant des endomorphismes, deux matrices identiques ont même déterminant.

Propriétés

Quitte à effectuer le choix d'une base, il est envisageable d'énoncer ces propriétés dans le cadre matriciel.

Caractère n-linéaire alterné

L'application déterminant sur les familles de vecteurs est une forme multilinéaire alternée. Utiliser cette propriété sur une matrice demande d'exprimer le dispositif de vecteurs colonnes, ou de vecteurs lignes.

Par exemple si la matrice A admet pour colonnes C1, ..., Cn avec Ci de la forme Ci=aC'i+C''i

\det(C_1,C_2,\dots,aC'_i+C''_i,\dots,C_n)=a\cdot\det(C_1,\dots,C'_i,\dots, C_n)+\det(C_1,C_2,\dots,C''_i,\dots,C_n)\,

Voici l'effet des opérations élémentaires sur les colonnes de la matrice

Surtout, si l'ensemble des colonnes sont multipliées par a, le résultat est une multiplication par an du déterminant

\det (a \times M) = aˆn \times \det{M}

En revanche, il n'existe pas de formule simple exprimant le déterminant de la somme A+B de deux matrices. En effet, appliquer la multilinéarité comparé aux colonnes demande d'écrire les colonnes de la somme comme Ai+Bi, puis d'appliquer n fois la propriété de linéarité. Finalement, le déterminant de A+B se scinde en une somme de 2n déterminants hybrides det (A1, A2, B3, A4, ..., Bn), constitués d'un certain nombre de colonnes de A et de B.

Il est envisageable d'effectuer aussi des opérations élémentaires sur les lignes, qui ont les mêmes propriétés que les opérations sur les colonnes. Opérer sur les lignes suivant la technique du pivot de Gauss apporte une méthode systématique de calcul des déterminants ; c'est la méthode la plus efficace en règle générale.

Article détaillé : Calcul des déterminants.

Propriétés de morphisme et d'annulation

Augustin Louis Cauchy prouve que le déterminant forme un morphisme de groupes

Cas d'annulation des déterminants

Ces propriétés expliquent le rôle essentiel que peuvent jouer les déterminants en algèbre linéaire. Ils forment un outil essentiel pour prouver qu'une famille de vecteurs est une base.

Démonstration du cas d'annulation
  • si le dispositif est lié, une colonne est combinaison linéaire des autres. Par une opération élémentaire, il est envisageable de se ramener à un déterminant ayant une colonne nulle, par conséquent nul.
  • si le dispositif est libre, il est envisageable de le considérer comme une base B' et lui appliquer la formule de changement de bases : detB (B '). detB ' (B) =1.

Propriété de morphisme

Démonstration de la propriété de morphisme
La double application de la formule pour l'image d'une famille de vecteurs donne le résultat, en prenant les vecteurs images des vecteurs de la base B eux-mêmes
\det (uv)=\det{}_B (u(v(e_1)),\dots, u(v(e_n)))=\det u . \det{}_B (v(e_1),\dots, v(e_n))=\det u \det v

Il existe une généralisation de la formule de déterminant d'un produit pour le cas de deux matrices rectangulaires : c'est la formule de Binet-Cauchy.

Cofacteurs et formule de récurrence

Article détaillé : Comatrice.

Soit A une matrice carrée de taille n, et A (x) la matrice dont les cœfficients sont les mêmes que ceux de A, sauf le terme d'indice i, j qui vaut ai, j+x (c'est la modification d'un des cœfficients de la matrice, toutes choses identiques d'autre part). Par la formule de linéarité pour la j-ème colonne, il est envisageable d'établir

\det A(x)=\det A + x(-1)ˆ{i+j}\begin{vmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \dots & a_{1,n} \\\vdots & & \vdots &  \vdots& &\vdots\\
a_{i-1,1} & \dots & a_{i-1,j-1}& a_{i-1,j+1}& \dots & a_{i-1,n} \\
a_{i+1,1} & \dots & a_{i+1,j-1}& a_{i+1,j+1}& \dots & a_{i+1,n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots &&\vdots\\
a_{n,1} & \dots & a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \dots & a_{n,n}\end{vmatrix} = \det A+x {\rm Cof}_{i,j}

Le terme noté Cofi, j est nommé cofacteur d'indice i, j. Il se calcule de la façon suivante : en notant M (i;j) le déterminant de la sous-matrice déduite de M par suppression la ligne i et la colonne j, le cofacteur est (-1) i+j fois M (i;j).

Il admet les interprétations suivantes

Formules de Laplace

Pierre-Simon Laplace

Si n>1 et A est une matrice carrée de taille n alors il est envisageable de calculer son déterminant suivant les cœfficients d'une seule colonne et des cofacteurs correspondants. Cette formule, dite formule de Laplace, permet ainsi de ramener le calcul du déterminant à n calculs de déterminants de taille n-1.

\det{A}=\sum_{i=1}ˆ{n} a_{i;j} {\rm Cof}_{i,j}
\det{A}=\sum_{j=1}ˆ{n} a_{i;j} {\rm Cof}_{i,j}

Comatrice et calcul de l'inverse

La comatrice de A, est la matrice constituée des cofacteurs de A. Elle généralise les formules de développement du déterminant comparé aux lignes ou colonnes

A \times {}ˆt{{\rm com} A} = {}ˆt{{\rm com} A}\times A =\det{A} \times I_n

La matrice transposée de la comatrice est nommée matrice complémentaire de A. Surtout si A est inversible, l'inverse de A est un multiple de la matrice complémentaire. Cette approche offre une formule de la matrice inverse, ne nécessitant que des calculs de déterminants

Aˆ{-1}=\frac1{\det A} \, {}ˆt{{\rm com} A}

Variations de la fonction déterminant

La formule de Leibniz montre que le déterminant d'une matrice A s'exprime comme somme et produit de composantes de A. Il n'est par conséquent pas surprenant que le déterminant ait de bonnes propriétés de régularité.

Déterminant dépendant d'un paramètre

Si t\mapsto A(t) est une fonction de classe \mathcal Cˆk à valeurs dans les matrices carrées d'ordre n, alors t\mapsto \det A(t) est aussi de classe \mathcal Cˆk.

La formule de dérivation s'obtient en faisant intervenir les colonnes de A

\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \left(\det (A_1(t),\dots, A_n(t))  \right)= \sum_{i=1}ˆn \det (A_1(t),\dots, A_{i-1}(t),A'_i(t),A_{i+1}(t),\dots, A_n(t))

Cette formule est formellement analogue à la dérivée d'un produit de n fonctions numériques.

Application déterminant sur l'espace des matrices

Cette propriété présente des conséquences topologiques intéressantes : ainsi le groupe GLn (\mathbb{R}) est un ouvert, la loi de multiplication des matrices en fait un groupe de Lie, et le sous-groupe SL_n(\mathbb{R}) est un fermé dans GLn (\mathbb{R}).

Le développement limité à l'ordre un du déterminant au voisinage de A s'écrit

\det (A+H)=\det A + {\rm tr } ({}ˆt{\rm Com }(A).H)+o(\|H\|)

C'est-à-dire que dans \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) pourvu de son produit scalaire canonique, la comatrice s'interprète comme le gradient de l'application déterminant

\nabla \det (A) = {\rm Com }(A)

Surtout pour le cas où A est l'identité

\det (I+H)=1 + {\rm tr } (H)+o(\|H\|)\qquad \nabla \det (I) = I

Le caractère différentiable permet d'affirmer que SL_n(\mathbb{R}) est aussi un groupe de Lie.

Ces formules portent quelquefois le nom d'identités de Jacobi. Elles sont établies dans l'article comatrice.

Généralisation aux espaces vectoriels sur d'autres corps ainsi qu'aux modules

Les différentes définitions et propriétés de la théorie des déterminants s'écrivent de façon semblable dans le cadre des espaces vectoriels complexes et des matrices à cœfficients complexes. Il en est de même sur tout corps commutatif, sauf pour le paragraphe «variations de la fonction déterminant» qui n'a alors pas de sens.

La quasi-totalité de la théorie des déterminants peut toujours être étendue aux matrices à cœfficients dans un anneau commutatif A ainsi qu'aux modules libres de dimension finie sur A. L'unique point de divergence est la caractérisation de l'annulation des déterminants.

Ainsi une matrice à cœfficients dans un anneau commutatif A est inversible si et uniquement si son déterminant est inversible dans A.

La question de l'algorithme de calcul du déterminant est à reprendre. En effet, la méthode du pivot de Gauss demande d'effectuer des divisions, ce qui n'est pas envisageable dans l'anneau A lui-même. Les formules de Leibniz ou de Laplace permettent de faire un calcul sans division, mais restent particulièrement coûteuses. Il existe des algorithmes énormément plus raisonnables, dont le temps d'exécution est d'ordre n4 ; surtout, l'algorithme du pivot de Gauss s'adapte dans le cas d'un anneau euclidien, cette adaptation est décrite dans l'article sur le théorème des facteurs invariants. Le site de l'université libre de Berlin propose un document de référence sur la question des algorithmes sans division (en anglais).

Notes

  1. E Knobloch Determinants in I Grattan-Guinness (ed. ), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences Londres 1994 pp 766-774 (ISBN 0415037859)
  2. E. Knobloch, Der Beginn der Determinantentheorie, Leibnizens nachgelassene Studien zum Determinantenkalkül (Hildesheim, 1980)
  3. Y. Mikami, The development of Mathematics in China and Japan (1913, 2e éd. Chelsea Pub. Company 1974)
  4. C. B. Boyer, A History of Mathematics (John Wiley, 1968)
  5. Gabriel Cramer Introduction to the analysis of algebraic curves 1750
  6. M. Cantor, Geschichte der Mathematik (Teubner, 1913)
  7. Bézout Recherches sur le degré des équations résultantes de l'évanouissement des inconnues, et sur le moyens qu'il convient d'employer pour trouver ces équations, Mém. Acad. Roy. Sci Paris, 1764, pp 288–338
  8. Vandermonde Mémoire sur l'élimination, Hist. de l'Acad. Roy. des Sciences Paris 1772, 2e partie, pp 516-532
  9. La grande notoriété n'est assurée en Mathématiques qu'aux noms associés à une méthode, à un théorème, à une notation. Peu importe d'ailleurs que l'attribution soit fondée ou non, et le nom de Vandermonde serait ignoré de l'immense majorité des mathématiciens si on ne lui avait attribué ce déterminant que vous connaissez bien, et qui n'est pas de lui ! V. A. Lebesgue Conférence d'Utrecht 1837
  10. Lagrange Nouvelle solution du problème du mouvement de rotation d'un corps de figure quelconque qui n'est animé par aucune force accélératrice Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, 1773
  11. La majeure partie des informations de ce paragraphe provient du site suivant : (en) Matrices and determinants
  12. Cauchy Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs identiques et des signes contraires par suite des transpositions opérées entre les variables qu'elles renferment adressé en 1812 et publié dans le Journal de l'Ecole Poytechnique, XVIIe Cahier, Tome X, Paris 1815 lire sur Gallica
  13. Cauchy Application du calcul des résidus à l'intégration des équations différentielles linéaires à cœfficients constants 1826 Lire sur le site de Gallica

Voir aussi

Algèbre :

  • Déterminant de Hankel, lié aux récurrences linéaires
  • Résultant de deux polynômes, et le discriminant qui en est un cas spécifique
  • Mineur, lié au calcul du rang
  • Polynôme caractéristique
  • Règle de Cramer

Analyse :

  • Wronskien
  • Jacobien
  • Hessien, lié à l'étude des points critiques

Géométrie :

Chimie :

  • Déterminant séculaire
  • Déterminant de Slater

Bibliographie

Liens externes

Goldenwiki 2.png

Recherche sur Amazon (livres) :



Principaux mots-clés de cette page : déterminant - vecteurs - matrices - linéaires - formule - applications - espace - volume - calcul - bases - propriétés - colonne - équations - forme - image - envisageable - dimension - cube - dispositifs - det - aires - valeurs - nul - solution - notion - nom - leibniz - cœfficients - produit - taille -

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9terminant_(math%C3%A9matiques).
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 11/11/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu