Distance

En mathématiques, une distance est une application qui formalise l'idée intuitive de distance, c'est-à-dire la longueur qui sépare deux points.


Catégories :

Espace métrique - Distance et longueur - Grandeur physique - Métrologie

Recherche sur Google Images :


Source image : madanight.com
Cette image est un résultat de recherche de Google Image. Elle est peut-être réduite par rapport à l'originale et/ou protégée par des droits d'auteur.

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Dans ces espaces, les trois points A, B, C satisfont comme nous l'avons... Cette distance est nommée " distance discrète" et le lecteur remarquera que nous... (source : mathematique.coursgratuits)
  • Cette distance est . Les coordonnées du point H sont ... (D) de l'espace, il est particulièrement vite évident que la distance AH est la plus petite des distances de A... (source : gonce.pagesperso-orange)

En mathématiques, une distance est une application qui formalise l'idée intuitive de distance, c'est-à-dire la longueur qui sépare deux points. C'est par l'analyse des principales propriétés de la distance usuelle que Fréchet introduit la notion d'espace métrique, développée ensuite par Hausdorff. Elle introduit un langage géométrique dans de nombreuses questions d'analyse et de théorie des nombres[1].

À partir de la définition d'une distance, vue comme une application satisfaisant à certains axiomes, d'autres notions de distance peuvent être définies, comme par exemple la distance entre deux parties, ou la distance d'un point à une partie, sans que ces dernières répondent à la définition première d'une distance.

Distance sur un ensemble

Définition

En mathématiques, on nomme distance sur un ensemble E une application d : \mathrm{E}\times \mathrm{E} \rightarrow \mathbb{R}ˆ+ vérifiant les propriétés suivantes :

Nom Propriété
symétrie \forall x,y\in \mathrm{E},\ d(x,y)=d(y,x)
séparation \forall x,y\in \mathrm{E},\ d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y
inégalité triangulaire \forall x,y,z\in \mathrm{E},\ d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)

Un ensemble pourvu d'une distance se nomme un espace métrique.

Remarque

Dans la définition d'une distance, on demande le plus souvent que la totalité d'arrivée soit \mathbb{R}ˆ+ ; on peut se contenter de supposer que c'est \mathbb{R} et invoquer la suite d'inégalités valable pour tout couple (x, y) de réels :

0 = d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x) = 2d(x,y)

en utilisant respectivement la séparation, l'inégalité triangulaire puis la symétrie.

Propriété : Ultramétrie

Article détaillé : Distance ultramétrique.

La distance est dite ultramétrique si de plus :

Nom Propriété
Ultramétrie \forall x,y,z\in \mathrm{E} : d(x,z)\leq \max( d(x,y), d(y,z) )

Un exemple de telle distance intervient de façon principale dans la théorie des valuations p-adiques. L'interprétation géométrique de l'inégalité triangulaire dans un espace ultramétrique amène à dire que l'ensemble des triangles sont isocèles.

Distance algébrique

Soit deux points A et B d'un espace affine par lesquels passe une droite orientée (une droite pourvue d'un sens, c'est-à-dire génèrée par un vecteur \vec{v} non-nul). On nomme distance algébrique de A vers B le réel tel que :

On peut démontrer que la distance algébrique de A vers B (notée da (A, B) ) vaut :

 d_a(\mathrm{A}, \mathrm{B}) = \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\vec{v}}{\|\vec{v}\|}

Attention, la distance algébrique n'est pas une distance, dans la mesure où elle est non-symétrique :

da (A, B) = − da (B, A)

Distance entre deux ensembles

Soient E1 et E2 deux parties d'un espace métrique pourvu d'une distance d, on définit la distance entre ces deux ensembles comme :

 d(\mathrm{E}_1, \mathrm{E}_2) = \inf\{ d(x,y)\ /\ (x,y) \in \mathrm{E}_1 \times \mathrm{E}_2\}
N. B.
Cette «distance» n'est pas une distance sur la totalité des parties de E au sens des axiomes définis plus haut. Surtout si la distance entre deux ensembles est nulle, on ne peut pas en déduire que ces ensembles sont égaux.

Néanmoins, il est envisageable de définir une vraie distance entre les parties compactes d'un espace métrique. Pour cela, voir : distance de Hausdorff.

Distance d'un point à une partie

On peut particulariser la définition précédente en prenant l'un des deux ensembles réduit à un point.
Si A est une partie non-vide d'un espace métrique E, et si x est élément de E, on définit la distance de x à A par :

d(x,\mathrm{A}) = \inf \{ d(x,y), y \in \mathrm{A} \}.

C'est[2] le rayon de la plus grande boule ouverte de centre x qui ne rencontre pas A.

On prendra garde au fait que d(x,\mathrm{A})=0∼ n'implique pas que x soit élément de A. A titre d'exemple, dans \R pourvu de la valeur absolue, la distance de 0 à l'intervalle ouvert ]0, 1[ est nulle, ou la distance de tout réel à la totalité des rationnels est nulle aussi.
On peut démontrer[3] plus exactement que la distance de x à A est nulle si et uniquement si x est un point adhérent à A.

L'application x \in \mathrm{E} \to d(x,\mathrm{A}) \in \R vérifie l'inégalité triangulaire :

\forall x,y \in \mathrm{E}, |d(x,\mathrm{A})-d(y,\mathrm{A})| \le d(x,y).

C'est par conséquent une application continue, puisque 1-lipschitzienne.

Distance sur des espaces vectoriels

Distance de Manhattan (chemin rouge, jaune et bleu) contre distance euclidienne en vert

Dans un espace vectoriel normé (\mathrm{E},\|\cdot\|), on peut toujours définir de manière canonique une distance d à partir de la norme. En effet, il suffit de poser : \forall (x,y) \in \mathrm{E} \times \mathrm{E},\ d(x,y) = \|y-x\|

En particulier, dans \mathbb{R}ˆn, on peut définir de plusieurs manières la distances entre 2 points, quoiqu'elle soit le plus souvent donnée par la distance euclidienne (ou 2-distance). Soit deux points de E, (x1, x2, …, xn) et (y1, y2, …, yn), on exprime les différentes distances ainsi :

Nom Paramètre Fonction
distance de Manhattan 1-distance \sum_{i=1}ˆn |x_i-y_i|
distance euclidienne 2-distance \sqrt{\sum_{i=1}ˆn |x_i-y_i|ˆ2}
distance de Minkowski p-distance \sqrt[p]{\sum_{i=1}ˆn |x_i-y_i|ˆp}
distance de Tchebychev ∞-distance \lim_{p \to \infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}ˆn |x_i-y_i|ˆp} = \sup_{1 \leq i \leq n}{|x_i-y_i|}

La 2-distance sert à généraliser l'application du théorème de Pythagore à un espace de dimension n. C'est la distance la plus intuitive.

La p-distance est rarement utilisée en dehors des cas p = 1, 2 ou ∞. La 1-distance présente la particularité amusante de permettre la définition en toute rigueur de sphères carrées (voir oxymore).

Distance sur une sphère

Distances entre deux permutations

Il est aussi envisageable de définir des distances entre des permutations. L'exemple suivant est particulièrement utilisé dans le réarrangement de génomes. Soit S un ensemble de permutations modélisant diverses opérations; alors la distance entre deux permutations π et σ est la longueur d'une séquence minimale constituée du produit d'éléments de S telle que cette séquence transforme π en σ.

Ces distances peuvent aussi servir à mesurer, de diverses manières, le désordre présent dans une séquence. On utilise alors ces mesures pour analyser les performances de divers algorithmes de tri, ou pour construire de nouveaux algorithmes de tri qui effectuent un nombre de comparaisons optimal comparé à la mesure de désordre choisie. L'algorithme de Levenshtein mesure une telle similarité.

Voir aussi

Notes et références

  1. Jean-Luc Verley, Espaces métriques, dans Dictionnaire des mathématiques; algèbre, analyse, géométrie, éd. Albin Michel, p. 651
  2. Jean-Luc Verley, Espaces métriques, dans Dictionnaire des mathématiques; algèbre, analyse, géométrie, éd. Albin Michel, p. 653
  3. E. Ramis, C. Deschamps, J. Odoux, Mathématiques spéciales, T. 3, topologie et éléments d'analyse, éd. Masson, Paris, 1976, p. 49

Recherche sur Amazone (livres) :



Principaux mots-clés de cette page : distance - espace - points - ensemble - métrique - parties - application - mathématiques - analyse - propriétés - inégalité - nulle - dire - triangulaire - réels - algébrique - mesure - définir - élément - permutations -

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Distance_(math%C3%A9matiques).
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 11/11/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu