Une échelle logarithmique est un dispositif de graduation sur une demi-droite [Ox) , en particulier adapté pour rendre compte des ordres de grandeur dans les applications. De plus elle sert à rendre accessible une large gamme de valeurs.

Définition de l'échelle logarithmique

L'échelle logarithmique n'est définie que pour des valeurs strictement positives. Une base logarithmique b est choisie, correspondant à un type de logarithme, les plus courants étant :

• le logarithme népérien, dont la base est e.
• en statistiques, généralement le logarithme décimal (base 10).
• en informatique, le logarithme de base 2.

Toute autre base reste envisageable, elles sont uniquement plus rarement utilisées. Les échelles obtenues sont semblables à un rapport près, seuls les calculs de pente seront différents.

L'origine (le zéro) de l'échelle correspond à la valeur b⁰ = 1 ; vers la droite (ou : vers le haut), le nombre b est positionné à une unité de l'origine, b² à deux unités, b³ à trois unités, etc. Vers la gauche (ou : vers le bas), on trouve les puissances négatives de b : b^-1 (= 1/b) à une unité, b^-2 = 1 / b² à deux unités, etc.

D'une façon plus générale, un nombre x est positionné sur l'échelle à une distance log_b (x)  : c'est sa coordonnée logarithmique.

Sur ce type d'échelle, les grands nombres sont comprimés particulièrement proches de l'origine et aisément représentés (en base 10 par exemple, un nombre dix fois plus grand est uniquement une unité plus loin), par contre les nombres entre 0 et 1 sont dilatés et particulièrement vite renvoyés vers l'infini négatif.

Illustrations avec une échelle logarithmique de base 10

Construction d'une échelle logarithmique

Dans ce dispositif de graduation, le nombre étiqueté n est positionné à une distance log (n) de l'origine, le logarithme employé ici est le logarithme décimal

• La distance qui sépare 1 de 10 est la même que celle qui sépare 10 de 100 et celle qui sépare 0, 1 de 1 car log (100) - log (10) = log (10) - log (1) = log (1) - log (0, 1). Chacun de ces intervalles se nomme un module.
• la distance qui sépare 1 de 2 est égale à celle qui sépare 10 de 20 mais est supérieure à celle qui sépare 2 de 3 car log (2) - log (1) = log (20) - log (10) = log (4) - log (2) > log (3) - log (2).

Cela induit une sorte d'irrégularité récurrente dans les graduations.

Exemple d'échelle logarithmique à trois modules

L'échelle logarithmique est une alternative à l'échelle linéaire. Elle peut s'avérer préférable pour deux raisons :

• Situation 1 : Quand on étudie un phénomène utilisant une gamme étendue de valeurs, l'échelle linéaire est mal adaptée. On lui préfère une échelle logarithmique qui espace les valeurs faibles et rapproche les valeurs fortes.

• Situation 2 : Certaines sensations suivent la loi de Weber-Fechner qui affirme qu'elles peuvent «croître comme le logarithme de l'excitant.» L'échelle logarithmique donne alors un reflet fidèle de la vision subjective.

Comparaison d'une échelle linéaire et d'une échelle logarithmique

Le schéma ci-dessus sert à visualiser les deux types d'échelles :

• Pour l'échelle linéaire, deux graduations dont la différence vaut 10 sont à distance constante.
• Pour l'échelle logarithmique, deux graduations dont le rapport vaut 10 sont à distance constante.

Exemples d'utilisations

• en physique
  • Magnitude d'un séisme
  • pH
  • Magnitude des étoiles
• en musique
  • Spectre sonore
• en électronique
  • Électronique analogique
  • Réponse en fréquence
  • Filtre électronique
• en géologie
  • Courbe de Hjuström

Notes

Voir aussi

Liens externes

(en) Papier semi-log vierge

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