Extensivité - intensivité

Les variables extensives et intensives sont des catégories de variables physiques.



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Grandeur physique - Métrologie - Thermodynamique - Physique statistique

Les variables extensives et intensives sont des catégories de variables physiques.

Prenons un exemple : si deux chevaux courent côte à côte et chacun à 60 km/h, à eux deux ils ne font pas un ensemble allant à 120 km/h, la totalité va aussi à 60 km/h (la vitesse est intensive), par contre à eux deux ils font un passage deux fois plus imposant qu'un cheval seul : le débit est doublé, la puissance aussi (ces deux variables sont extensives).

Le produit d'une variable intensive par une extensive donne une variable extensive ; le quotient de deux extensives donne une intensive.

Bien sûr, cette catégorisation est imparfaite : certaines variables ne sont pas idéalement extensives. A titre d'exemple, la masse d'un corps n'est pas la somme des masses de ses particules car une partie de leur masse est utilisée sous forme d'énergie de liaison. Il en est de même de variables intensives définies comme quotient de deux variables imparfaitement extensives.

Extensivité

Définition

En thermodynamique d'équilibre, un paramètre extensif (ou une grandeur extensive) est un paramètre caractérisant un dispositif physique qui est proportionnel à la taille de ce dispositif, ce dernier étant supposé à l'équilibre et homogène.

Généralement, on dit d'une grandeur G qu'elle est extensive quand la somme des valeurs de cette grandeur pour deux dispositifs disjoints est égale à la valeur de la grandeur pour la réunion des dispositifs.

G(S_1) + G(S_2) = G(S_1 \cup S_2)

Pour cette raison on qualifie aussi fréquemment les grandeurs extensives d'additives quoique les deux termes ne soient synonymes qu'à la limite thermodynamique.

De la même manière on peut écrire que G est une variable extensive dépendant par exemple de la quantité de matière n et du volume V si : \forall \alpha, \quad G(\alpha n, \alpha V) = \alpha\, G(n,V) .

Exemples

On compte parmi les grandeurs extensives courantes :

En général une grandeur extensive est associée à au moins une grandeur intensive. L'association est d'ailleurs simple puisque le rapport de deux variables extensives est toujours une variable intensive.

La phrase : «une variable qui n'est pas extensive est une variable intensive», est fausse, car il existe des grandeurs ni extensives, ni intensives comme le carré du volume, par exemple, qui ne respectent pas la condition de linéarité. Même en faisant abstraction du cas académique où on prend une puissance arbitraire d'une quantité extensive, on trouve des dispositifs thermodynamiques où des quantités principales ne sont ni intensives ni extensives. A titre d'exemple, en thermodynamique des trous noirs, la surface d'un trou noir est proportionnelle au carré de sa masse et non à sa masse. Sa variable conjuguée, la gravité de surface, proportionnelle à la température de Hawking n'est elle aussi ni extensive ni intensive.

Limite thermodynamique et approche mathématique

Soit un dispositif Σ et une grandeur G définie par exemple par le nombre de particule n. G est dite extensive si et uniquement si le rapport de G sur n a une limite finie lorsque n tend vers l'infini :

 \lim_{n \to + \ \infty} \frac{G_{\Sigma}}{n} \ = \  g(\rho) \ < \ + \ \infty

On nomme cela le passage à la limite thermodynamique. ρ = n / V est la densité du dispositif, supposée indépendante de n. La grandeur g est alors une grandeur intensive associée à G et n.

On retrouve bien le fait qu'une grandeur extensive est , à la limite thermodynamique, proportionnelle à la taille du dispositif :

 G_{\Sigma} \ \sim \  n \, g(\rho)

Exemple : l'énergie interne

Y a-t-il deux fois plus d'énergie dans deux litres d'essence que dans un litre ?

La réponse à cette question, qui peut sembler anodine, n'est pas triviale du tout. Elle n'a de chance d'être positive qu'à la limite thermodynamique seulement ; en effet, l'énergie interne U d'un liquide ordinaire est une grandeur extensive bien qu'elle ne soit pas additive !

«Preuve» élémentaire

Considérons une partition du liquide (Σ) en deux sous-systèmes macroscopiques 1) et 2) ayant en commun la surface-frontière S. On peut écrire pour l'énergie interne du liquide (Σ) la relation exacte :

 U_{\Sigma} \ = \  U_1 \ + \ U_2  \ + \ U_{\mathrm{int}}

où :

Montrons cependant que cette énergie d'interaction tend vers zéro à la limite thermodynamique des grands dispositifs. Soit l la longueur caractéristique de la portée de l'interaction. Les molécules qui contribuent à l'énergie d'interaction Uint sont localisées dans un volume v de l'ordre du produit de la surface de séparation S multiplié par la longueur 2 l :

 v \ \sim \ 2 \, l \ S

Soit L une longueur caractéristique du liquide (Σ) , de telle sorte que son volume total V soit de l'ordre de :

 V \ \sim \ \ Lˆ3

Alors, la surface de séparation S est de l'ordre de :

 S \ \sim \ \ Lˆ2

de telle sorte que le volume de la zone d'interaction est de l'ordre

 v \ \sim \ 2 \, lLˆ2

Les forces d'interaction étant supposées à courte portée,  l \ll L et on obtient :

 v \ \ll \ V

Plus exactement, il vient à la limite thermodynamique :

 \lim_{N \to + \ \infty} \frac{v}{V} \ = \ \lim_{L \to + \ \infty} \frac{2 \, l}{L} \ = \ 0

On aura par conséquent une énergie d'interaction nulle à la limite thermodynamique :

 \lim_{N \to + \ \infty} \frac{U_{\mathrm{int}}}{N} \ = \ 0

Preuve rigoureuse ?

Dans la réalité, les molécules du liquide sont constituées à l'échelle principale de protons, de neutrons et d'électrons, et ces particules interagissent principalement via des forces coulombiennes et gravitationnelles qui sont de portée illimitée. Il n'est a priori absolument pas évident que les interactions intermoléculaires «résiduelles» soient bien à courtes portées, ce qui rend la «preuve» élémentaire précédente caduque. Plus grave, nous savons que la matière doit être décrite par la mécanique quantique à l'échelle microscopique.

C'est à dire, l'énergie interne n'est jamais extensive dans le cas d'interactions purement gravitationnelles, qui sont toujours attractives.

Intensivité

Définition

En physique et en chimie, une variable intensive est une quantité qui ne dépend pas de la quantité de matière. C'est le contraire d'une variable extensive.

\textrm{si :} \ G(S_1) = G(S_2) \quad \textrm{alors} \quad G(S_1 \cup S_2) = G(S_1) = G(S_2)

Une grandeur physique G est dite intensive si et uniquement si pour toute partie d'un dispositif homogène sa valeur reste semblable :

\textrm{Soit :} \quad \Sigma =\bigcup_k \Sigma_k
\textrm{Alors :} \quad \forall \ k, \qquad G_{{\Sigma}_k} \ = \ G_{\Sigma}

La réciproque est aussi vraie : on qualifie un dispositif d'homogène si l'ensemble des variables intensives y prennent une valeur semblable dans toutes ses sous-parties.

Exemples

On compte parmi les grandeurs intensives courantes :

  • la densité de particule ;
  • la masse volumique ;
  • la tension superficielle ;
  • l'affinité chimique.

En général une grandeur intensive est associée à une grandeur extensive.

Remarque

Le rapport de deux grandeurs extensives étant intensif (par exemple : les densités comme la masse volumique, la densité surfacique de charge, etc. ), il est toujours envisageable de caractériser un dispositif par un jeu de grandeurs ne dépendant pas de la taille ou du nombre de particules du dispositif. En toute rigueur d'ailleurs, une fonction thermodynamique ne doit s'exprimer qu'en fonction de grandeurs intensives pour rendre la description du dispositif la plus générale envisageable. On retrouve ce principe dans la théorie des maquettes où la description s'appuie sur des nombres sans dimension (donc naturellement intensifs) afin d'étudier des propriétés transposables aux objets à taille réelle.

Lien entre grandeurs extensives et grandeurs intensives

En général une grandeur extensive est associée à une grandeur intensive, et inversement : la température T est associée à l'entropie S, la pression p est associée au volume V, le potentiel chimique μ est associé au nombre de particules N, etc.

En effet, le passage de la description f d'un dispositif thermodynamique à n variables xi (i = 1 à n) en fonction d'une variable extensive xj vers une description g selon la variable intensive yj associée à xj s'effectue grâce à la transformation de Legendre :

g(x_1,x_2,\dots,x_{j-1},y_j,x_{j+1},\dots,x_n) = f(x_1,\dots,x_n) - x_jy_j

avec

y_j = \left( \frac{\partial f}{\partial x_j} \right)_{x_k,k\ne j}.

On dit que les variables xj et yj sont des variables conjuguées.

A titre d'exemple, considérons le cas de l'énergie interne U (S, V, N) . Selon dU = TdSpdV + μdN, on voit que T est la grandeur conjuguée de S :

T = \left( \frac{\partial U}{\partial S} \right)_{V,N}

Le calcul de l'énergie libre F = UTS consiste par conséquent à faire une transformation de Legendre de l'énergie interne.

En conclusion, une grandeur extensive est conjuguée à une grandeur intensive, et inversement.

Partition macroscopique

Soit (Σ) un dispositif macroscopique. On nomme partition macroscopique de (Σ) un ensemble \left\{ \Sigma_k \right\}_{k=1, \dots, n} constitué de n sous-systèmes macroscopiques k) tels que :

 \forall \ l \ \ne \ k, \quad \Sigma_k \ \cap \ \Sigma_l \ = \ \emptyset
Plus exactement, dans l'espace physique courant à trois dimensions, deux sous-systèmes macroscopiques k) et l) de volumes finis peuvent avoir au plus une surface-frontière en commun.
 \cup_{k=1}ˆn \ \Sigma_k \ = \ \Sigma

Additivité

Une grandeur physique G est dite additive si et uniquement si pour toute partition macroscopique de (Σ) , on a la relation d'additivité :

 G_{\Sigma} \ = \ \sum_{k=1}ˆn G_{{\Sigma}_k}

A titre d'exemple, le volume V et le nombre de particules N sont des grandeurs additives.

Notes et références

  1. par L. Van Hove ; Physica 15 (1950), 137.
  2. par Jean-Marc Lévy-Leblond ; Journal of Mathematical Physics 10 (1969), 806.
  3. par Freeman Dyson & A. Lennard ; Journal of Mathematical Physics 7 (1967), 423.

Bibliographie

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