Inégalité triangulaire

En mathématiques, l'inégalité triangulaire exprime en substance que le chemin direct est le plus court. Cette inégalité peut être énoncée sous la forme d'une propriété ou bien d'une condition indispensable à la bonne définition d'une distance.



Catégories :

Distance et longueur - Grandeur physique - Métrologie - Inégalité - Géométrie du triangle

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • 10. Equations du second degré à cœfficients complexes... 15. Inégalité de Markov- Inégalité de Bienaymé-Tchebychev... compatibilité avec l'ordre, inégalité triangulaire, relation de Chasles, comptabilité avec l'addition... distance d'un point à un plan, distance d'un point à une droite de l'espace... (source : gilles.costantini.pagesperso-orange)
  • (deuxième inégalité triangulaire, découle de la première)... de deux nombres complexes z1 = x1 + iy1 et z2 = x2 + iy2 est la distance euclidienne des deux... (source : techno-science)
  • La notion intuitive de distance dans le plan et l'espace euclidiens (produit scalaire)... C des nombres complexes) est un espace métrique.... L'axiome 3 est aussi nommé inégalité triangulaire. Il est calqué sur la structure métrique... (source : serge.mehl.free)
Triangle

En mathématiques, l'inégalité triangulaire exprime en substance que le chemin direct est le plus court. Cette inégalité peut être énoncée sous la forme d'une propriété ou bien d'une condition indispensable à la bonne définition d'une distance.

Énoncés

En géométrie

Dans un plan euclidien, soit un triangle ABC. Alors les longueur AB, AC et CB vérifient les 3 inégalités suivantes :

AB \leqslant AC + CB
AC \leqslant AB + BC
BC \leqslant BA + AC

Deux propriétés complètent cette inégalité :

  • |AC - CB| \leqslant AB
  • AB = AC + CB \Leftrightarrow C \in [AB]

Pour les nombres complexes

En utilisant une représentation complexe du plan euclidien, on peut noter

 x=\text{affixe de }\overrightarrow{AC}
y=\text{affixe de }\overrightarrow{CB}

On obtient cette formulation équivalente.

Pour (x, y) \in \mathbb{C}ˆ2, on a :

  • \Big| |x| - |y| \Big| \leqslant |x+y| \leqslant |x|+|y|
  • |x+y| = |x|+|y| \Longleftrightarrow \exists (\lambda,\mu) \in \mathbb{R}_+ˆ2-\{(0,0)\},\ \lambda x = \mu y

Généralisation aux espaces préhilbertiens

Soit (E, \langle | \rangle) un espace préhilbertien. On note \|\cdot \| la norme quadratique associée au produit scalaire. Pour (a, b)\in Eˆ2, on vérifie alors :

  • \left| \|a\| - \|b\| \right| \leqslant \|a + b\| \leqslant \|a\| + \|b\|
  • \|a + b\| = \|a\| + \|b\| \Longleftrightarrow \exists (x,y) \in \mathbb{R}_+ˆ2-\{(0,0)\},\ x\cdot a = y \cdot b

Point de vue axiomatique

Voir Distance (mathématiques) pour un article plus détaillé sur la notion de distance en mathématiques.

Soit E un ensemble et d : E\times E \rightarrow \mathbb{R}. On dit que d est une distance sur E si :

  • \forall (x,y)\in Eˆ2,\ d(x,y)=d(y,x)
  • \forall (x,y)\in Eˆ2,\ d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y
  • \forall (x,y,z)\in Eˆ3,\ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)

La troisième propriété demandée à d pour être une distance est de vérifier l'inégalité triangulaire.

Démonstrations

Lemme

Enoncé

Pour z \in \mathbb{C} :

  • \mathrm{Re}(z) \leqslant |z|
  • \mathrm{Re}(z) = |z| \Longleftrightarrow z \in \mathbb{R}_+

Démonstration

Soient z \in \mathbb{C} et (a, b) \in \mathbb{R}ˆ2 tels que z = a + ib.

Premièrement, \mathrm{Re}(z) \leqslant |\mathrm{Re}(z)| = \sqrt{aˆ2}.

Par la suite, aˆ2 \leqslant aˆ2 + bˆ2, car bˆ2 \geqslant 0 Par croissance de la fonction x\in\mathbb{R}_+ \mapsto \sqrt{x} \in \mathbb{R}, on obtient \sqrt{aˆ2} \leqslant \sqrt{aˆ2 + bˆ2} = |z|.

Finalement \mathrm{Re}(z) \leqslant |z|.

Il y a égalité si Re (z) = | Re (z) |, c'est-à-dire si a est positif, et si | Re (z) | 2 = | z | 2, c'est-à-dire si b = 0.

Dans le cadre des nombres complexes

Soit (x, y)\in\mathbb{C}ˆ2.

Inégalités

|x+y|ˆ2 = |x|ˆ2+|y|ˆ2 + 2\mathrm{Re}(x \bar y)

Or \mathrm{Re}(x \bar y) \leqslant |x\bar y| = |x||y|, par le lemme.

Donc |x+y|ˆ2 \leqslant |x|ˆ2+|y|ˆ2 + 2|x||y| = (|x|+|y|)ˆ2

Par croissance de x\in\mathbb{R}_+ \mapsto \sqrt{x} \in \mathbb{R}, on obtient |x+y| \leqslant |x|+|y|.


Posons x'= − x et y'= x + y.

Par ce qui précède, on a |x' + y'| \leqslant |x'| + |y'|, c'est-à-dire |y| \leqslant |-x| + |x+y|.

Donc |y| - |x| \leqslant  + |x+y|

De même, |x| - |y| \leqslant  + |x+y|


Finalement, \Big| |x| - |y| \Big| \leqslant |x+y| \leqslant |x|+|y|

Cas d'égalité

Supposons que | x + y | = | x | + | y |.

On a alors \mathrm{Re}(x \bar y) = |x\bar y|. Par le lemme, x\bar y est un réel positif. C'est-à-dire que x et y ont même argument.

Donc \exists \theta\in\mathbb{R}, x = |x|eˆ{i\theta}, y = |y|eˆ{i\theta}.


Finalement, on a bien λx = μy, avec λ = | y | et μ = | x | m.

Dans le cadre d'un plan euclidien

La démonstration la plus rapide est d'utiliser une représentation complexe du plan euclidien et d'appliquer le résultat auparavant démontré.

Dans le cadre des espaces préhilbertiens

La démonstration a précisément la même structure que pour les complexes.

Soit (E, \langle | \rangle) un espace préhilbertien. Soit (a, b)\in Eˆ2.

Inégalités

On a \|a + b\|ˆ2 = \|a\|ˆ2 + \|b\|ˆ2 + 2 \mathrm{Re}\langle a | b \rangle.


Par le lemme, \mathrm{Re}\langle a | b \rangle \leqslant | \langle a | b \rangle |.

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, | \langle a | b \rangle | \leqslant \|a\| \|b\|.

D'où \|a + b\|ˆ2 \leqslant \|a\|ˆ2 + \|b\|ˆ2 + 2\|a\| \|b\|.

Et par conséquent \|a + b\| \leqslant \|a\| + \|b\|


Posons a'= − a et b'= b + a. On a, par ce qui précède, \|a' + b'\| \leqslant \|a'\| + \|b'\|.

C'est-à-dire, comme \|a\| = \|-a\|, on a \|b\| \leqslant \|a\| + \|b+a\|.

En faisant de même en intervertissant a et b, on obtient | \|a\| - \|b\| | \leqslant \|a + b\|.


Finalement, | \|a\| - \|b\| | \leqslant \|a + b\| \leqslant \|a\| + \|b\|

Cas d'égalité

Supposons que \|a + b\| = \|a\| + \|b\|, et que a \neq 0.

Par ce qui précède, on a par conséquent \mathrm{Re}\langle a | b \rangle = |\langle a | b \rangle| = \|a\| \|b\|.

Donc, par le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz, \exists \lambda\in\mathbb{C},\ b = \lambda\cdot a.

Et \langle a | b \rangle est un réel positif. Comme, \langle a | b \rangle = \bar \lambda \|a\|ˆ2, λ est aussi un réel positif.


Finalement, \|a + b\| = \|a\| + \|b\| \Longleftrightarrow \exists (\lambda,\mu) \in \mathbb{R}_+ˆ2,\ \lambda\cdot a = \mu \cdot b

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