Méthode des indivisibles

En géométrie, la méthode des indivisibles est une méthode de calcul d'aire et de volume découverte par Cavalieri au XVIIe siècle, développée par Roberval, Torricelli...



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Longueur - Ordre de grandeur - Métrologie - Aire - Grandeur physique - Volume - Histoire de l'analyse

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  • Le principe de la méthode des indivisibles est énoncé par Liu Hui au IIIe... Avec les point notés sur le dessin, expliquer pourquoi l'aire du disque rouge... (source : 2e.belin-maths-bacpro)
  • La méthode des indivisibles est une méthode de comparaison d'aires qui repose sur le prin- cipe suivant, connu sous le nom de principe de Cavalieri.... (source : mathenjeans.free)

En géométrie, la méthode des indivisibles est une méthode de calcul d'aire et de volume découverte par Cavalieri au XVIIe siècle, développée par Roberval, Torricelli et Pascal, plus efficace que la méthode d'exhaustion d'Archimède mais également plus risquée à appliquer. On peut la considérer comme l'ancêtre du calcul intégral, développé quelques temps après par Leibniz et Newton.

Principe de Cavalieri

Le principe est énoncé par Liu Hui au IIIe siècle puis par Bonaventura Cavalieri au XVIIe siècle

Illustration du principe

Une surface est une juxtaposition de lignes parallèles. Pour Cavalieri, des lignes parallèles sont des segments de droites parallèles ou des arcs de cercles concentriques. Chaque ligne est nommée un indivisible de la surface à quarrer. Si deux surfaces sont constituées de lignes de mêmes longueurs, elles sont identiques.

Un principe analogue existe pour les volumes et établit que les volumes de deux objets sont égaux si les sections transversales correspondantes sont , dans l'ensemble des cas, identiques. Deux sections transversales correspondent si elles sont des intersections de l'objet avec des plans équidistants d'un plan de base donné.

Exemples d'utilisation

Calculs d'aires

La méthode est d'un particulièrement grande efficacité pour retrouver l'aire du disque de rayon R et l'aire de la spirale d'Archimède.

Aire du disque

Indivisiblecercle.png


Le disque est constitué de cercles concentriques dont la longueur est rr fluctue de 0 à R. Ces cercles sont les indivisibles du disque.

Un triangle de base 2πR et de hauteur R est aussi constitué de lignes de longueur 2πr où r fluctue de 0 à R. Ces segments sont les indivisibles du triangle.

Ces deux surfaces ont des indivisibles de même longueurs, elles ont par conséquent même aire. L'aire du triangle est base × hauteur / 2 = 2πR × R/2 = πR².

Aire de la spirale d'Archimède

Indivisiblespirale.png

La spirale d'Archimède est obtenue en déplaçant un point sur un segment de droite selon un mouvement uniforme alors que la droite tourne autour d'un point selon un mouvement uniforme. Archimède démontre péniblement que l'aire de la spirale est égale au tiers de l'aire du disque qui la contient.

Cavalieri découpe la spirale en arcs de cercle qu'il redresse en segments. Le principe de construction de la spirale d'Archimède sert à dire que si l'arc de cercle a pour angle au centre t (exprimé en radian), son rayon est R\left(1-\frac{t}{2\pi}\right). La longueur de l'arc de cercle est par conséquent Rt\left(1-\frac{t}{2\pi}\right)t est un angle variant de 0 à 2π.

Les segments redressés sont par conséquent les indivisibles d'une parabole de base R et de hauteur πR/2. Depuis Archimède, on sait que l'aire d'une telle surface est égale au 2/3 du rectangle qui la contient.

La parabole et la spirale sont constituées d'indivisibles de même longueur. Leurs aires sont identiques. L'aire de la spirale est donc

 \frac{2}{3}R \times \frac{\pi R}{2}= \frac{\pi Rˆ2}{3}

Calculs de volumes

La méthode des indivisibles sert à déformer des sections. Si leur aire est inchangée alors le solide et le solide déformé ont même volume. Cette méthode est particulièrement efficace pour démontrer, par exemple, que le volume d'un cône est égal au tiers du volume du cylindre de même hauteur et de même base.

Indivisiblecone.png

Dans la figure ci-dessus, chaque section est déformée en un rectangle de même aire et de largeur a. Les propriétés de proportion sur les surfaces assurent que

\frac{S'}{S} = \frac{hˆ2}{Hˆ2}

La courbe dessinée dans le deuxième solide est par conséquent une parabole. Le deuxième solide est un cylindre de base le triangle curviligne et de hauteur a. Depuis Galilée, on sait que l'aire de ce triangle curviligne est égale à \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{3}. Ici l'aire du triangle curviligne est par conséquent \frac{H \times S/a}{3}. Le volume du cylindre de droite (donc du cône de gauche) est par conséquent \frac{H \times S}{3}

Indivisiblebol.png

Torricelli, reprenant des méthodes analogues, démontre que le volume du bol est égal à celui du cône. Le bol est obtenu en faisant tourner un rectangle de dimension 2R \times R, privé du demi-disque de rayon R, autour de sa plus petite médiane. Le cône est obtenu en faisant tourner un triangle isocèle rectangle de côté R autour d'un côté de l'angle droit.

Torricelli démontre que les sections du bol (rose) et du cône (jaune) ont même aire à une distance h du sommet du cône.

La section du cône est un cercle de rayon h par conséquent Scone = πh2
la section du bol est une couronne de rayons R et \sqrt{Rˆ2-hˆ2} par conséquent Sbol = πR2 − π (R2h2) = πh2

Les sections ayant même aire, les solides ont même volume.

Ces méthodes où les plans de coupe sont les mêmes d'un solide à l'autre représentent la forme la moins risquée de la méthode des indivisibles. Mais elles soulèvent cependant des interrogations : Galilée trouve paradoxal que la dernière section du cône soit un point et que celle du bol soit un cercle : il lui semble que le point et le cercle ne peuvent pas avoir même dimension.

Paradoxe des indivisibles

Indivisibleparadoxe.png

Cavalieri est bien conscient que sa méthode comporte des risques. En effet, selon son principe, si les indivisibles sont dans un rapport k entre deux figures, leurs aires sont aussi dans un rapport k. Or, ce principe permettrait de dire que l'aire du triangle ABC et celui du triangle ADC serait en rapport k = l/L, tandis qu'on sait que ces deux aires sont identiques.

Cavalieri pense que ce paradoxe provient du fait que son découpage ne suit pas les mêmes directions mais sent bien à la découverte d'autres paradoxes, que sa méthode comporte un risque. Son élève Torricelli pressent la solution en donnant une épaisseur aux indivisibles ouvrant ainsi la porte au calcul intégral : pour Torricelli, les indivisibles du triangle ABC sont plus épais que ceux du triangle ADC.

Pascal, dans son Traité de la roulette (1659), traitera correctement de cette "épaisseur", et énoncera même la méthode d'intégration par parties. Mais, tous ces calculs restent dans le lit de la combinatoire : un pas de plus est indispensable pour prendre en compte les découpages inégaux ; la notion de changement de variable est présente chez Barrow à la même époque (1660) ; mais c'est avec Leibniz que le calculus s'épanouira.

Inversement, le calcul ombral de Gian-Carlo Rotta fera resurgir le lien entre combinatoire-calcul discret et calculus.

Source

Voir aussi

  • Principia et Calculus
  • Exégèse des Principia
  • Traité de la roulette
  • James Gregory
  • Mathématiques en Europe au XVIIe siècle
  • Andersen, Cavalieri's method of indivisibles, Arch Hist Ex Sc, 31, 4, (1985), p261-367.

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