Moment angulaire

En physique, le moment angulaire ou moment cinétique est la grandeur physique qui joue un rôle analogue à la quantité de mouvement dans le cas des rotations.



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Grandeur physique - Métrologie - Mécanique classique - Physique quantique

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Un gyroscope tournant sur un clou

En physique, le moment angulaire ou moment cinétique est la grandeur physique qui joue un rôle analogue à la quantité de mouvement dans le cas des rotations. Comme le moment angulaire dépend du choix de l'origine (mais aussi du référentiel d'étude (R) ), il faut toujours spécifier cette origine et ne jamais combiner des moments angulaires ayant des origines différentes.

Cas d'un point matériel

On nomme point matériel ou corps ponctuel un dispositif mécanique dont les dimensions sont petites devant les distances caractéristiques du mouvement étudié (distance parcourue, rayon d'une orbite... ). Le dispositif mécanique est alors modélisé par un point géométrique M auquel est associé sa masse m.

Définition

Pour un point matériel M de vecteur position \vec{r}=\vec{OM}, le moment cinétique ou angulaire \vec{L_{O}} comparé à l'origine O est défini par :

\vec{L_{O}}=\vec{OM} \wedge \vec{p}=\vec{r}\wedge \vec{p}, (1)

\vec{p}=m\vec{v} est la quantité de mouvement de la particule. Le moment cinétique est par conséquent le moment de cette dernière comparé à O. \wedge est l'opérateur produit vectoriel.

Un exemple simple est celui d'une particule décrivant un cercle de centre O et de rayon r : \vec{L_{O}} est dirigé selon l'axe du disque et vaut  \vec{L_{O}} =  \vec{k} \cdot mvr. Le sens \vec{k} du vecteur moment cinétique ne recouvre pas une réalité physique mais est une convention ; c'est un vecteur axial.

Par ressemblance avec la quantité de mouvement, le moment cinétique sert à définir l'analogue de la masse : le moment d'inertie I. En effet : \vec{L_{O}}=\vec{r}\wedge \vec{p}=m  \vec{r}\wedge \vec{v}= mrˆ{2}\dot{\theta} \vec{k} = I \dot{\theta} \vec{k}, avec I = mr2, et où \dot{\theta} est la vitesse angulaire du point M, à laquelle on peut faire correspondre le vecteur axial \vec{{\dot{\theta}}}=\dot{\theta} \vec{k} . Le moment cinétique s'écrit finalement :

\vec{L_{O}}= I \vec{\dot{\theta}}.

Théorème du moment cinétique pour un point matériel

Si on dérive membre à membre la définition (1) du moment angulaire, il vient, en supposant O fixe dans (R)  : \frac{\vec{dL_{O}}}{dt}=\frac{\vec{dr}}{dt}\wedge \vec{p}+\vec{r}\wedge \frac{\vec{dp}}{dt}=\vec{r}\wedge \frac{\vec{dp}}{dt}, puisque \frac{\vec{dr}}{dt} et \vec{p}=m\vec{v} sont colinéaires.

D'autre part pour un corps ponctuel, on a (relation principale de la dynamique)  :

\frac{\vec{dp}}{dt}=\sum_{i} \vec{F_{i}}, (2), le terme de droite correspondant à la somme des forces \vec{F_{i}} (réelles ou "d'inertie") exercées sur le corps.

Par suite il vient l'équation suivante, dite théorème du moment cinétique :

\frac{\vec{dL_{O}}}{dt}=\vec{r}\wedge \sum_{i} \vec{F_{i}}=\sum_{i} \vec{\mathcal{M}_{O}}\left (\vec{F_{i}}\right), (3)

\vec{\mathcal{M}_{O}}\left ( \vec{F_{i}}\right)= \vec{r}\wedge \vec{F_{i}} est le moment de la force \vec{F_{i}} comparé au point O.

Remarque : comparé à un point O mobile dans (R) , le théorème du moment cinétique s'écrit : \frac{\vec{dL_{O}}}{dt}+\vec{v_{O}}\wedge \vec{p}=\sum_{i} \vec{\mathcal{M}_{O}}\left (\vec{F_{i}}\right).
La seule différence vient de l'addition d'un terme complémentaire \vec{v_{O}}\wedge \vec{p} dans le membre de gauche de la relation (3).

Exemples d'application

Mouvement à force centrale : cas général

Un cas spécifique particulièrement important d'utilisation du moment cinétique est celui du mouvement à force centrale, où le point matériel M est soumis à une seule force \vec{F} dont la direction passe par un point fixe dans (R) , nommé centre de force. Par suite en prenant ce centre de force pour origine O, le théorème du moment cinétique (3) implique que le moment cinétique \vec{L_{O}} est une intégrale première du mouvement : \frac{\vec{dL_{O}}}{dt}=\vec{0}, soit \vec{L_{O}}=\vec{r}\wedge \vec{p}=\vec{cte}, puisque \vec{OM} et \vec{F} sont colinéaires.

Donc le vecteur position \vec{r} et la quantité de mouvement \vec{p} du corps sont à tout instant perpendiculaires à un vecteur de direction constante : la trajectoire est par conséquent plane, entièrement contenue dans le plan perpendiculaire à \vec{L_{O}}=\vec{r_{0}}\wedge \vec{p_{0}} (l'indice "0" sert à désigner les valeurs initiales des grandeurs).

Le mouvement ne comportant que deux degrés de liberté on se place en coordonnées polaires (r, θ) dans le plan de la trajectoire. Il vient ainsi :

\vec{L_{O}}=L\vec{e_{z}}, avec L\equiv mrˆ{2}\dot{\theta} constante.

Compte tenu de vˆ{2}=\dot{r}ˆ{2}+rˆ{2}\dot{\theta}ˆ{2} en coordonnées polaires, l'énergie cinétique du point matériel peut se séparer en une partie radiale et une partie angulaire. Elle s'écrit alors E_{k}=\frac{1}{2}m\dot{r}ˆ{2}+\frac{Lˆ{2}}{2mrˆ{2}}.

Mouvement à force centrale : cas où la force dérive d'une énergie potentielle

Si la force centrale \vec{F} dérive d'une énergie potentielle V (r) , l'énergie mécanique du corps se met sous la forme : E_{m}=\frac{1}{2}m\dot{r}ˆ{2}+U_{eff}(r) avec U_{eff}(r)\equiv V(r)+\frac{Lˆ{2}}{2mrˆ{2}}, énergie potentielle effective.

On se ramène à un mouvement unidimensionnel d'une particule fictive dans un potentiel Ueff (r) . Le terme \frac{Lˆ{2}}{2mrˆ{2}} étant positif et croissant à courte distance, il joue le rôle de "barrière de potentiel centrifuge".

Quelques remarques et références additionnelles

  1. De nombreux auteurs supposent qu'une force centrale dérive toujours d'une énergie potentielle : ceci est faux généralement. A titre d'exemple, pour le pendule simple, la force de tension du fil est une force centrale car elle passe toujours par le point de fixation O du pendule, MAIS elle ne dérive pas d'une énergie potentielle (à moins de considérer l'état microscopique des atomes composant le fil, dont l'énergie potentielle augmente bel et bien).
  2. Une application importante des développements qui ont précédé est dans l'étude du mouvement keplerien des planètes et des satellites. Les trajectoires sont alors des courbes fermées — des ellipses.
  3. Il convient de souligner qu'en général les trajectoires obtenues pour une énergie potentielle V (r) quelconque ne sont pas des courbes fermées : seuls le potentiel coulombien attractif V(r)=-\frac{K}{r} (K constante) et le potentiel harmonique V (r) = αr2 en donneront (Théorème de Bertrand). Cela provient de l'existence, pour ces potentiels, d'une intégrale première additionnelle (démonstration ?) (pour le potentiel coulombien, il s'agit du vecteur de Runge-Lenz), associé à une symétrie supplémentaire (par transformation du groupe O (4) ).

Cas d'un dispositif matériel

Définition dans le cas général

Si un dispositif est constitué de plusieurs particules (modèle discret), le moment angulaire total est obtenu en additionant ou intégrant le moment angulaire de chacun de ses constituants. Il est aussi envisageable de se placer dans la limite des milieux continus pour décrire certains dispositifs mécaniques (solides, surtout).

Suivant qu'on adopte un modèle discret ou continu, le moment cinétique du dispositif (S) comparé à un point O s'écrit :

\vec{L_{O}}=\sum_{i} \vec{OM_{i}}\wedge \vec{p_{i}} ou \vec{L_{O}}=\int_{(S)} \vec{OM}\wedge \rho (M)\vec{v_{M}}d\tau

Ces expressions générales ne sont guère utilisables directement. Le théorème de Kœnig relatif au moment cinétique permet d'en donner une forme plus compréhensible physiquement.

Dans le cas d'un dispositif à \dot{\theta} constante (cas des solides surtout), on peut aussi écrire :


L_{O}= I \dot{\theta}I=\sum_{i} m_{i}r_{i}ˆ2 ou I=\int  rˆ2\rho (M) d\tau.

Théorème de Kœnig pour l'instant cinétique

Soit G le centre d'inertie du dispositif, M la masse totale du dispositif alors :

\vec{L_{A}}=\vec{L_{A}ˆ*} + \vec{AG}\wedge M\vec{v_{G}}.

Le moment cinétique d'un dispositif fermé en un point est égal au moment cinétique en ce point du centre d'inertie G affecté de la masse totale, augmenté du moment cinétique barycentrique.

Remarque : Si A est en G alors \vec{L_{A}}=\vec{L_{A}ˆ*} . On a par conséquent une égalité de moment cinétique malgré la différence de référentiel (galiléen et barycentrique) et par conséquent de vitesse associée.

Cas d'un solide : tenseur d'inertie

Voir aussi

Liens externes

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