Moment d'inertie

Le moment d'inertie quantifie la résistance d'un corps soumis à une mise en rotation, et a pour grandeur physique M. L².


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  • Le moment d'inertie IQδ caractérise la répartition de la masse du solide S comparé à l'axe (Δ). L'unité d'un moment d'inertie est le kilogramme mètre... (source : jdotec)
  • Le moment d'inertie est le terme utilisé pour mesurer la résistance à la torsion d'une... relative pour faire bouger un objet autour d'un axe de rotation.... (source : golf-zone)
  • Le calcul de moment d'inertie est totalement HP..... serait-ce que pour un solide en rotation autour d'un axe fixe est hors programme ?... (source : forum.prepas)
Lequel de ces mouvements est le plus complexe ?

Le moment d'inertie quantifie la résistance d'un corps soumis à une mise en rotation (ou d'une façon plus générale à une accélération angulaire), et a pour grandeur physique M. L². C'est l'analogue de la masse inertielle qui, elle , mesure la résistance d'un corps soumis à une accélération linéaire.

Cette appellation est aussi utilisée en mécanique des matériaux pour déterminer la contrainte dans une poutre soumise à flexion. Il s'agit alors d'une notion physique différente, toujours nommée moment quadratique, qui a pour grandeur physique L4.

Approche empirique

Quand on prend un balai en main au milieu du manche et qu'on le fait tourner comme sur la figure ci-contre. Il est plus aisé de le faire tourner autour de l'axe du manche (1), qu'autour de l'axe transversal indiqué (2).

Cela est dû au fait que dans le deuxième cas, la matière constituant le balai se trouve plus éloignée de l'axe de rotation. Comme pour un solide en rotation, la vitesse linéaire d'un point croît en proportion avec cet éloignement, il est indispensable de communiquer une plus grande énergie cinétique aux points éloignés. D'où la plus grande résistance du balai à tourner autour d'un axe transversal qu'autour de l'axe du manche.

Détermination du moment d'inertie

Soit un objet physique composé de plusieurs points solidaires i de masse mi. Cet objet tourne autour d'un axe Δ, à la vitesse angulaire ω. La distance de i à Δ est ri.

Le calcul de l'énergie cinétique de cet objet donne :

E_c=\sum_i \tfrac12 m_i V_iˆ2 = \sum_i \tfrac12 m_i (\omega r_i)ˆ2 = \tfrac12 \omegaˆ2 \sum_i m_i r_iˆ2

On définit alors le moment d'inertie JΔ comparé à l'axe Δ par :

J_\Delta=\sum_i m_i r_iˆ2

Par extension dans un solide reconnu comme ensemble continu de points matériels x affectés d'une masse volumique ρ, le moment d'inertie s'écrit :

J_\Delta=\iiint d(x,\Delta)ˆ2\;\mathrm{d}m=\iiint d(x,\Delta)ˆ2\,\rho\;\mathrm {d}V

Cette définition peut aussi prendre une forme vectorielle :

J_\Delta=\iiint \|\vec\Delta\wedge\vec{OM} \|ˆ2 \mathrm{d}m=\iiint \|\vec\Delta\wedge\vec{OM}\|ˆ2\,\rho\;\mathrm {d}V

Il découle de la définition du moment d'inertie que plus la masse d'un solide est répartie loin de l'axe de rotation, plus son moment d'inertie est important. Ainsi, le patineur sur glace rapproche les bras de son corps lors d'une pirouette. Cela a pour effet de diminuer son moment d'inertie, ce qui, par conservation du moment cinétique, implique une plus grande vitesse de rotation.

Moments d'inertie spécifiques

Pour les exemples suivants, nous considérerons des solides de densité uniforme ρ et de masse M.

La boule

Pour une boule de rayon R et de centre O, les moments d'inertie au centre de la boule comparé aux trois axes sont égaux :

\begin{align} 3 J_\Delta &= J_{Ox} + J_{Oy} + J_{Oz} = \int_V [(Oyˆ2+Ozˆ2)+(Ozˆ2+Oxˆ2)+(Oxˆ2+Oyˆ2)]\,\mathrm dm \\
 3 J_\Delta &= 2 \int_V (Oxˆ2+Oyˆ2+Ozˆ2)\,\mathrm dm = 2 \int_OˆR rˆ2 (\rho 4\pi rˆ2\,\mathrm dr)= \frac{6}{5}M Rˆ2\qquad    \text{(avec }M = \rho \frac{4}{3}\pi Rˆ3\text{)} \\
 J_\Delta &= \frac{2}{5}M Rˆ2 \end{align}

La barre

Dans le cas d'une barre de section négligeable et de longueur L, le moment d'inertie selon un axe perpendiculaire à la barre est , en son centre :

 J_\Delta = \int_{-L/2}ˆ{+L/2} xˆ2\rho\,\mathrm dx = \frac{1}{12} \rho Lˆ3 = \frac{1}{12} M Lˆ2 (avec M = ρL)

Ici, ρ exprime une densité linéique.

Le cylindre plein

Dans le cas d'un cylindre de rayon R et de hauteur h, le moment d'inertie selon l'axe du cylindre est :

J_\Delta = \int_{0}ˆ{R} rˆ2 (\rho 2 \pi r h\,\mathrm dr) = \frac{1}{2} \rho \pi Rˆ4 h = \frac{1}{2} M Rˆ2 (avec M = ρπR2h)

Le cylindre creux

Dans le cas d'un cylindre creux de rayons intérieur R1 et extérieur R2, et de hauteur h, le moment d'inertie selon l'axe du cylindre est :

J_\Delta = \int_{R_1}ˆ{R_2} rˆ2 (\rho 2 \pi r h\,\mathrm dr) = 2 \rho \pi h \left[ \frac{rˆ4}{4}  \right]_{R_1}ˆ{R_2} = \frac{1}{2} \rho \pi h (R_2ˆ4 - R_1ˆ4) = \frac{1}{2} M (R_1ˆ2 + R_2ˆ2) (avec M = \rho  \pi h (R_2ˆ2 - R_1ˆ2) )

Théorème de transport (ou Théorème d'Huygens ou Théorème de Steiner)

Soit l'axe Δ passant par le centre de masse de l'objet, et un axe Δ' parallèle à Δ et distant de d. En calculant comme auparavant le moment d'inertie, on retrouve la relation établie par Christian Huygens connue sous le nom de théorème de transport[1] ou théorème de Huygens ou théorème de Steiner ou théorème des axes parallèles qui donne le moment d'inertie JΔ' selon JΔ :

J_{\Delta '}=J_\Delta+M\cdot dˆ2

À l'énergie cinétique de rotation propre d'un corps, s'ajoute celle de «translation» circulaire du centre de masse auquel on a affecté la masse totale du solide.

Une conséquence immédiate du théorème de Huygens est qu'il est moins coûteux (en énergie) de faire tourner un corps autour d'un axe passant par le centre de masse.

Voir aussi

Liens externes

Références

  1. Fascicule de L'Université de Liège, Faculté des Sciences Appliquées, Résistance des matériaux et mécanique du solide exercices, 1999, Pro. S. Cescotto (point 3. B. )

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 11/11/2010.
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