Moment de force

Le moment de force est l'aptitude d'une force à faire tourner un dispositif mécanique autour d'un point donné, qu'on appelle pivot.

Translation d'une force

Basculera, basculera pas ?

Soit une planche en équilibre au bord d'un muret. Pour la déséquilibrer, on peut poser une charge sur la partie en porte-à-faux, au-dessus du vide. La capacité de cette charge à faire basculer la planche n'est pas la même suivant qu'elle est posée près du muret ou au bout de la planche. De même on peut, au même lieu, placer une charge plus lourde et constater une différence de bascule.

Le «pouvoir de basculement» dépend par conséquent de l'intensité de la force, mais également de la position relative du point d'application de la force, et du point de rotation réel ou virtuel reconnu.

On intègre ces trois composantes du problème par le modèle de moment d'une force, qui est l'aptitude d'une force à faire tourner un dispositif mécanique autour d'un point donné, qu'on nommera pivot.

Moment comparé à un point

Définition vectorielle

Expression vectorielle

Le moment d'une force s'exerçant au point $A$ comparé au pivot $P$ , est le pseudovecteur :

$\vec{M}_{\vec{F}/P} = \overrightarrow{PA} \wedge \vec{F} = \vec{F}\wedge \overrightarrow{AP}$ .

où $\wedge$ sert à désigner le produit vectoriel.

Remarque sur la notation: Il existe plusieurs variantes de notation des moments de force ; certaines (comme sur l'image ci-contre) comportent des parenthèses autour du vecteur, quelquefois autour de la totalité. D'autres ajoutent même à la notation l'élément agissant et l'élément subissant l'action. Une notation plus compacte consiste à nommer la force par la même lettre que celle désignant le point d'application, ce qui rend plus rapide l'identification des cas de nullité de moments.

Ce pseudovecteur est à la fois orthogonal à et au bipoint est finalement normal au plan dans lequel se déroule la rotation que peut provoquer la force, et son sens donne le sens de rotation (la rotation est positive dans le plan orienté par).

Si $d$ est la distance orthogonale du pivot $P$ à la droite d'action, c'est-à-dire $P H$ , alors sa norme vaut :

$\bigl\|\vec{M}_{\vec{F}/P}\bigr\| = \bigl\|\vec{F}\bigr\| \cdot d$ .

La longueur $d$ est nommée bras de levier. Dans le cas bidimensionnel, il est habituel de considérer la norme du moment comme le moment lui-même, ce dernier ne comportant qu'une composante non nulle.

Les composantes et la norme d'un moment de force sont exprimées en newton-mètre (Nm), dans le système international d'unités et leurs dimensions sont $M L 2 T - 2$ .

Cas de nullité du moment

Dans la mesure où il s'agit ensuite d'établir la somme nulle des moments, on peut naturellement s'intéresser aux cas de nullité individuelle des moments de force ; de par les propriétés du produit vectoriel :

la force est nulle ;
le bipoint est. La force est par conséquent appliquée en $P$ .
et sont colinéaires ; alors la droite d'action passe par $P$ , ce qui inclut aussi le cas précédent.

Formule de Varignon

Quand on connaît le moment d'une force en un point, il est envisageable de le recalculer en n'importe quel point de l'espace. Cette opération est inévitable quand on manipule les torseurs d'actions mécaniques. Cela revient à poser une rallonge au levier $A P$ . On montre alors la relation suivante :

$\vec{M}_{\vec{F}/Q} = \vec{M}_{\vec{F}/P}+ \overrightarrow{QP} \wedge \vec{F}$ .

On peut vérifier alors :

$\vec{M}_{\vec{F}/P} = \vec{M}_{\vec{F}/A}+\overrightarrow {PA} \wedge \vec{F}= \overrightarrow{PA} \wedge \vec{F}$ .

En réalité une force est modélisée par un vecteur (représentant la force) et son point d'application. Il est envisageable de représenter cette action mécanique par le couple de vecteurs force et moment en un point, qui sont les éléments de réduction du torseur d'action mécanique. La relation d'équilibre liée au principe essentiel de la statique devient une somme de torseurs ; en pratique, on effectuera parallèlement la somme des forces, et la somme des moments tous exprimés au même point, d'où l'intérêt de la formule de transport de moments.

Moment comparé à un axe

Quand un solide est animé d'un mouvement de rotation effectif autour d'un axe (cas d'une roue guidée par un palier) il est intéressant de ne considérer que la part utile du moment d'une force. On définit le moment de la force comparé à l'axe $(Δ)$ par

$M_{\vec{F}/\Delta} = \vec{M}_{\vec{F}/P} \cdot \vec{u} = \left(\overrightarrow{PA} \wedge \vec{F}\right) \cdot \vec u = \left[\overrightarrow{PA}, \vec F, \vec u\right]$ ,

où $\vec{u}$ est un vecteur unitaire de $(Δ)$ , $P$ est un point quelconque de $(Δ)$ et où les crochets dénotent le produit mixte.

En résumé il s'agit de la composante suivant $\vec{u}$ du moment de calculé en $P$ . Par conséquent c'est un nombre scalaire : « $\cdot \vec{u}$ » est une opération de projection sur l'axe $\vec{u}$ . Sur le plan mécanique, c'est l'unique composante (dans le cas d'une liaison idéale au pivot) susceptible d'apporter (ou consommer) une puissance. Le «reste» du moment sera subi par le palier. Cette partie complémentaire intéressera le technologue qui prendra en compte ces valeurs pour le dimensionnement du palier.

Le moment comparé à l'axe est nul si

le moment comparé au point est nul (cas général précédent).
la force est dans la direction de l'axe reconnu.

Couple de forces

Article détaillé : Couple (physique) .

Si on considère deux forces opposées appliquée en $A$ et appliquée en $B$ , points différents d'un même dispositif, il est évident que leur somme est nulle. Qu'en est-il de la somme de leur moment en un point $P$ de l'espace ?

$\begin{align} \vec{M}_{\vec{F}/P} + \vec{M}_{-\vec{F}/P} &= \overrightarrow{PA} \wedge \vec{F} + \overrightarrow{PB} \wedge(- \vec{F}) \\ &= \overrightarrow{PA} \wedge \vec{F} + \overrightarrow{BP} \wedge\vec{F} \\ &= \left(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{BP}\right) \wedge \vec{F} \\ &= \overrightarrow{BA} \wedge \vec{F} &= \vec{C} \end{align}$ .

On remarque que le résultat est indépendant du point de pivot $P$ reconnu. Cette quantité est nommée couple. Il n'est pas besoin de préciser le point de rotation. Les deux forces forment alors un couple de forces.

Outre les autres cas évidents, le couple est nul quand les deux forces ont la même droite d'action. Le couple augmente avec l'intensité commune des forces, mais également avec l'éloignement des points. Il est maximal quand et sont orthogonaux.

Cas général

En réalité le couple n'existe pas intrinsèquement. Il est toujours associé à un ensemble de forces s'annulant vectoriellement mais dont les moments s'ajoutent sans s'annuler. C'est par exemple le résultat de l'action du vent sur une éolienne, ou l'action des forces électromagnétiques sur l'induit d'un moteur électrique.

On ne doit par conséquent pas faire le raccourci «somme des moments = moment de la somme». Cela n'est vrai que pour un ensemble de forces appliquées au même point. Cela montre enfin qu'une action mécanique n'est pas représentable par un seul vecteur force. La considération du point d'application est essentielle.

Théorème de Varignon

Le moment en $P$ de la résultante de plusieurs forces concourantes en $A$ est égal à la somme des moments en $P$ de ces différentes forces :

$\vec M_{\vec R/P} = \sum_i \vec M_{\vec F_i/P}$ ,

avec $\textstyle\vec R = \sum_i \vec F_i$ .

En effet :

$\vec M_{\vec R/P} = \overrightarrow{PA}\wedge\vec R = \overrightarrow{PA}\wedge\left(\sum_i \vec F_i\right) = \sum_i \overrightarrow{PA} \wedge \vec F_i = \sum_i \vec M_{\vec F_i/P}$

En dynamique

En mécanique dynamique, on peut montrer que le moment des forces est la dérivée du moment cinétique comparé au temps :

$\vec{M}_{F/\Delta} = \frac{{\rm d}\vec L}{{\rm d}t}$

Ceci est l'équivalent du principe essentiel de la dynamique (deuxième loi de Newton) en rotation.

On peut aussi montrer que si $\vec{\omega}$ est le vecteur vitesse angulaire, c'est-à-dire le vecteur

colinéaire à l'axe de rotation $Δ$ ,
dont la norme est la vitesse angulaire
et orienté de façon que l'orientation positive d'un plan normal correspond au sens de rotation, alors :

$\vec{L} = J_{\Delta} \cdot \vec{\omega}$

où $J Δ$ est le moment d'inertie du solide comparé à l'axe de rotation $Δ$ .

Voir aussi

Couple (physique)

Pseudovecteur

Levier_ (mécanique)

Lien externe

Une vidéo explicative sur la statique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

Recherche sur Amazone (livres) :

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