Moment quadratique

Le moment quadratique est une grandeur qui caractérise la géométrie d'une section et se définit comparé à un axe ou un point.

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Théorie des poutres - Grandeur physique - Métrologie

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Remarque : le moment quadratique caractérise l'aptitude d'une section à tourner autour d'un axe : - plus le moment quadratique est grand, plus la section a... (source : mescoursdegeniecivil.wifeo)
puisque de section non uniforme et constitué de plusieurs matériaux, par conséquent un moment quadratique est uniquement hypothétique.... (source : florent.letard.free)

Le moment quadratique est une grandeur qui caractérise la géométrie d'une section et se définit comparé à un axe ou un point. Il s'exprime dans le système international en m⁴, (mètre à la puissance 4).

Le moment quadratique est utilisé en résistance des matériaux, il est indispensable pour calculer la résistance et la déformation des poutres sollicitées en torsion ( $I G$ ) et en flexion ( $I x$ et $I y$ ). En effet, la résistance d'une section sollicitée selon un axe donné fluctue avec son moment quadratique selon cet axe.

Le moment quadratique est toujours fréquemment nommé moment d'inertie. Cependant, quoiqu'il présente de claires similitudes, il ne rend compte que de la géométrie d'une section et non de sa masse.

Définition générale

Schéma

Moment quadratique de la section $S$ comparé à l'axe $O\vec x$ : $I_x = \int_{S}yˆ2\, \mathrm ds = \iint_{S}yˆ2\, \mathrm dx\mathrm dy$
Moment quadratique de la section $S$ comparé à l'axe $O\vec y$ : $I_y= \int_{S}xˆ2\, \mathrm ds = \iint_{S}xˆ2\, \mathrm dx\mathrm dy$
Moment quadratique (polaire) de $S$ comparé au point $O$ : $I_O= \int_{S}rˆ2\, \mathrm ds = \iint_{S}rˆ2\, \mathrm dx\mathrm dy$

Remarques: On a $I O = I x + I y$ puisque $r 2 = x 2 + y 2$ (Théorème de Pythagore).; Il découle de ces définitions que plus les éléments de la section sont localisés loin de l'axe, plus le moment quadratique sera important.

Application de la définition

Section carrée

Pour une section carrée de côté $a$ centrée en $O$ :

Moment quadratique comparé à $O\vec x$ : $I_x= \iint_{S}yˆ2\, \mathrm dx\mathrm dy = \int_{-\frac {a}{2}}ˆ{\frac {a}{2}} \mathrm dx \times \int_{-\frac {a}{2}}ˆ{\frac {a}{2}} yˆ2 \;\mathrm dy$
$= \left[\frac {a}{2}-\left ( - \frac{a}{2} \right ) \right] \cdot \frac {1}{3} \cdot \left[ \left(\frac {a}{2}\right) ˆ3 - \left ( - \frac{a}{2} \right ) ˆ3 \right] = \frac {1}{3} \cdot a \cdot \left ( \frac {aˆ3}{8} + \frac {aˆ3}{8} \right )$
$= \frac {aˆ4}{12}$
Moment quadratique comparé à $O\vec y$ : De même, à cause de la symétrie de cette section, on a : $I_y= \frac {aˆ4}{12}$
Moment quadratique comparé au point $O$ : En utilisant le fait que $I O = I x + I y$ on a : $I_O= \frac {aˆ4}{6}$

Formules pour les sections usuelles

Section rectangulaire

$I_x= \frac {b \cdot hˆ3}{12}$

$I_y= \frac {h \cdot bˆ3}{12}$

$I_G= \frac {b \cdot h}{12} \cdot (bˆ2+hˆ2)$

Section circulaire

$I_x= \frac {\pi \cdot Dˆ4}{64}$

$I_y= \frac {\pi \cdot Dˆ4}{64}$

$I_G= \frac {\pi \cdot Dˆ4}{32}$

Section annulaire

Il s'agit simplement de soustraire le moment quadratique du disque intérieur à celui du disque extérieur.

$I_x= \frac {\pi \cdot (Dˆ4-dˆ4)}{64}$

$I_y= \frac {\pi \cdot (Dˆ4-dˆ4)}{64}$

$I_G= \frac {\pi \cdot (Dˆ4-dˆ4)}{32}$

Formule de transport

Le moment quadratique d'une section $S$ dont le barycentre passe par un axe $Δ$ parallèle à un axe de référence $Δ'$ à une distance $d$ vaut, selon le théorème de transport de Huygens :

$I_{\Delta'} = I_\Delta + S \cdot dˆ2$ .

Ceci exprime que le moment quadratique est égal à la somme du «moment propre» $I Δ$ et du «moment de translation» $S . d 2$ .

Exemple pour une section complexe

âme d'une poutrelle

Poutre en I

On décompose la poutre en 3 parties, les deux semelles et l'âme. On fait la somme des moments quadratiques de chaque section. Si on choisit l'axe neutre comme axe de rotation, on doit utiliser le théorème des axes parallèles (transport) pour l'instant quadratique des semelles :

$I_\text{x} = I_1 + 2I_2 = \frac{e(h-2e')ˆ3}{12} + 2\left(\frac{l'e'ˆ3}{12}+\frac{l'e'(h-e')ˆ2}4\right)$

avec $e$ et $h$ l'épaisseur et la hauteur de la poutre et $l'$ et $e'$ la largeur et l'épaisseur d'une semelle.

Il est aussi envisageable de considérer une section rectangulaire de largeur l'et de hauteur h à laquelle il faut soustraire l'inertie de la portion reconnue en trop, soit une autre section rectangulaire de largeur l'-e et de hauteur h-2e'. La formule devient alors :

$I_\text{x} = I_1 - I_2 = \frac{b_1h_1ˆ3}{12} - \frac{b_2h_2ˆ3}{12} = \frac{l'hˆ3}{12} - \frac{(l'-e)(h-2e')ˆ3}{12}$

Les semelles sont les parties qui subissent la plus grande déformation. Ces parties sont par conséquent plus larges, afin d'offrir une meilleure résistance à la déformation, tout en réduisant l'âme pour gagner du poids. L'âme permet de écarter les semelles afin d'augmenter leur moment quadratique. Ainsi, à aire équivalente, le moment quadratique d'une section en I est à peu près 7, 6 fois plus grand que celui d'une section carrée.

Ces poutres sont par conséquent beaucoup utilisées en génie civil et en mécanique car elles permettent des économies de matière.

Nota : Pour un résultat plus précis, il faut soustraire les deux épaisseurs des semelles de la hauteur de l'âme. Soit remplacer h par h-2h'

Application aux composites, sandwich

En utilisant pour ces parties un matériau plus résistant aux contraintes (cf Déformation élastique) ou ayant un Module de Young plus élevé, on peut par conséquent énormément augmenter ses caractéristiques mécaniques. Pour l'âme, on peut alors utiliser un matériau de résistance moindre mais plus léger, celui étant soumis a de moins grandes déformations.
Ce principe est utilisé abondamment dans la fabrication de bateaux en matériaux composites : l'âme est faite en mousse ou dans un matériau de faible densité (par exemple un polymère ou du balsa) et les semelles sont en fibres (verre, carbone... ). Ce type de fabrication est nommé sandwich dans le milieu nautique, à cause de cette structure en 3 feuilles juxtaposées.

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