Portée

La portée d'un projectile correspond à la longueur entre la projection horizontale du point où le projectile est lâché par le dispositif lui donnant son impulsion, et la projection horizontale du point de chute du projectile.



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Mesure de longueur - Mesure physique - Métrologie - Mécanique

Portée d d'un projectile lancé depuis une hauteur y0 avec un angle de θ à une vitesse d'origine v.

La portée d'un projectile correspond à la longueur entre la projection horizontale du point où le projectile est lâché par le dispositif lui donnant son impulsion, et la projection horizontale du point de chute du projectile. La portée est par conséquent la projection horizontale d'une trajectoire courbe en trois dimensions.

À la surface de la Terre

En physique, le cas le plus courant est celui d'un projectile qui suit une trajectoire du type parabolique, déterminée par des conditions initiales strictes dans un champ de gravité uniforme — c'est-à-dire le cas de figure rencontré à la surface de la Terre. Pour des longueurs raisonnables, la surface de la Terre est approximée en un plan de nature horizontale qui apporte l'axe orienté sur lequel sera mesurée la portée.

Avec les paramètres suivants :

et en négligeant les frottements de l'air :

 d = \frac{v \cos \theta}{g} \left( v \sin \theta + \sqrt{(v \sin \theta)ˆ2 + 2gy_0} \right)

Si y0 est prise comme valant 0 — c'est-à-dire que le projectile est lancé à partir de l'horizontale de niveau 0 (ie. le sol, typiquement) — le calcul se simplifie en :

 d = \frac{vˆ2}{g} \sin 2 \theta

Preuves

Cas où y0 vaut 0

La position du projectile est caractérisé par deux équations de mouvement, selon les axes horizontaux et verticaux.

La position horizontale du projectile, x (t) , est :

 x(t) = \frac{}{} v\cos \left(\theta\right) t

Dans la direction verticale, où s'applique la force de pesanteur, elle vaut :

 y(t) = \frac{} {} v\sin \left(\theta\right) t - \frac{1} {2} g tˆ2

Le point de chute et d'arrêt de la trajectoire correspond au retour du projectile à la position verticale d'origine — ici, 0 :

 0 = \frac{} {} v\sin \left(\theta\right) t - \frac{1} {2} g tˆ2

Par résolution d'une équation du second degré, deux solutions existent :

 \frac{} {}t = 0

ou bien

 t = \frac{2 v \sin \theta} {g}

La première solution correspond à la position d'origine. C'est par conséquent la seconde solution qui sert à déterminer la portée. En introduisant t dans l'équation modélisant la position horizontale, il vient que :

 x = \frac {2 vˆ2 \cos \left(\theta\right) \sin \left(\theta\right)} {g}

Par application de l'identité trigonométrique :

\sin(2x) = 2 \sin (x) \cos(x) \

on peut simplifier la solution en :

 d = \frac {vˆ2} {g} \sin 2 \theta

À noter que pour un angle de projection θ égal à 45°, la solution devient :

 d = \frac {vˆ2} {g}

On parle alors de «portée maximale» : c'est pourquoi les lanceurs de javelots, par exemple, s'entraînent à former ce demi-angle droit pour maximiser la distance parcourue.

Cas général

Si y0 peut être non nul, les équations de mouvement deviennent :

 x(t) = \frac{}{} v\cos \left(\theta\right) t

et

 y(t) = y_0 + \frac{} {} v\sin \left(\theta\right) t - \frac{1} {2} g tˆ2

En résolvant encore une fois pour t avec la position y égale à 0, il vient :

 0 = y_0 + \frac{} {} v\sin \left(\theta\right) t - \frac{1} {2} g tˆ2

La résolution de l'équation du second degré donne toujours deux solutions en temps. Après plusieurs manipulations algébriques :

 t = \frac {v \sin \theta} {g} \pm \frac {\sqrt{\left(v \sin \theta\right)ˆ2 + 2 g y_0}} {g}

La racine carré doit être positive, et puisque la vélocité et le cosinus de l'angle de projection sont supposés l'être aussi, la solution avec le plus grand temps sera celle correspondant au plus affectant le dernier membre de droite. Par conséquent, la solution générale est de la forme :

 t = \frac {v \sin \theta} {g} + \frac {\sqrt{\left(v \sin \theta\right)ˆ2 + 2 g y_0}} {g}

La portée est donc :

 d = \frac {v \cos \theta} {g} \left [ v \sin \theta + \sqrt{\left(v \sin \theta \right)ˆ2 + 2 g y_0} \right]

Références

Voir aussi

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 11/11/2010.
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