Propagation des incertitudes

Une mesure est toujours entachée d'erreurs dont on estime l'intensité par l'intermédiaire des incertitudes. Quand une mesure est utilisée pour obtenir la valeur d'une autre grandeur par l'intermédiaire une formule, hormis le calcul de la valeur...



Catégories :

Métrologie - Analyse réelle

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • ... nous avons calculé les incertitudes de mesures en utilisant la simulation..... Nous avons vu que la loi de propagation des incertitudes est ... (source : hal.archives-ouvertes)
  • Différents documents traitent des incertitudes de mesure....... Si les grandeurs ne sont pas corrélées, la formule de propagation des incertitudes est ... (source : lne)
  • mesure d'apporter une notion de confiance dans les modèles ou dans les ...... En mécanique, le terme de propagation des incertitudes est utilisé pour... (source : publications.onera)

Une mesure est toujours entachée d'erreurs dont on estime l'intensité par l'intermédiaire des incertitudes. Quand une mesure est utilisée pour obtenir la valeur d'une autre grandeur par l'intermédiaire une formule, hormis le calcul de la valeur estimée de cette grandeur, il faut savoir déterminer l'incertitude induite sur le résultat de la formule. On parle de propagation d'incertitude, ou encore, improprement[1], de propagation d'erreur.

Approches pragmatiques

Report des extrêmes dans le calcul

La première solution consiste à effectuer les calculs avec les extrêmes de l'intervalle d'incertitude. Si la mesure a pour valeur

a ± Δa

alors la «valeur réelle» est supposée être dans l'intervalle [aa;aa]. On calcule par conséquent ici

y1 = ƒ (aa)
y2 = ƒ (aa)

et, selon l'ordre de y1 et de y2, on prend [y1;y2] ou [y2;y1] comme intervalle d'incertitude.

Cette méthode n'est valable que si la loi est monotone (c'est-à-dire croissante ou décroissante) sur l'intervalle [aa;aa].

Estimation à partir de la dérivée

Une manière simple, utilisée souvent en physique, consiste à utiliser un développement limité du premier ordre, c'est-à-dire à remplacer la loi ƒ par sa tangente locale pour estimer la propagation de l'incertitude.

On a :

ƒ (x) = ƒ (a) + ƒ' (a) · (x-a) + o (x)

o (x) est une fonction qui «tend vite» vers 0. Si on remplace x par a + Δa, on a alors :

ƒ (a + Δa) = ƒ (a) + ƒ' (a) ·Δa + o (a + Δa)

On peut par conséquent estimer :

Δy ≈ | ƒ' (a) | · Δa

Ce calcul est tout aussi valable dans le cadre de la propagation simple des incertitudes (loi des erreurs uniforme ou normale), que dans le cadre (normalisé[1]) des incertitudes estimées par intervalles de confiance. La double-hypothèse sous-jacente à la validité de ce calcul est dite de "quasi-linéarité" et "quasi-gaussiannité". À défaut, si la loi physique ƒ est croissante convexe ou décroissante concave, l'incertitude propagée est sous-estimée du côté des erreurs en excès, et sur-estimée du côté des erreurs en défaut, et réciproquement si la loi physique ƒ est croissante concave ou décroissante convexe. La mésestimation est d'autant plus importante que la convexité, ou la concavité, est importante, en relation avec la valeur de l'incertitude (échelle de la non-linéarité). Si l'assymétrie créée sur l'incertitude devient trop importante, il convient de gérer deux demies-incertitudes[2] différentes, une par défaut et une par excès[1].

Approche mathématique

Notations

par exemple, si x est un vecteur (x1, x2, …, xn), alors

\partial_i y(\underline{x}) = \frac{\partial y}{\partial x_i}(\underline{x})

Formules

Une fonction de variables aléatoires

y = y (\underline{x})

est elle-même une variable aléatoire. Si les incertitudes sont petites, la variance du développement limité de y au premier ordre autour des valeurs moyennes μ des x est une bonne estimation de la variance de y :

y(x) = y(\mu) + \sum \left(x_i - \mu_i \right) \partial_i y

On néglige les termes d'ordre supérieur dans l'expansion, il vient :

V(y(x)) = \sum_i\sum_j \partial_i y \partial_j y V_{ij}(x)

Si les x sont indépendantes

V(y(x)) = \sum_i \left( \partial_i y \right)ˆ2 V_{ii}(x)

Applications

Mesure d'une résistance

Une application pratique est la mesure expérimentale d'une résistance R à partir de la chute de tension U entre ses limites et du courant I. La résistance est décrite par la loi d'Ohm.

R = \frac{U}{I}

Nous avons

\langle R \rangle = \frac{\langle U \rangle}{\langle I \rangle}

\partial_U R = \frac{1}{\langle I \rangle} = \frac{\langle R \rangle}{\langle U \rangle} et \partial_I R = - \frac{\langle U \rangle}{\langle I \rangleˆ2} = - \frac{\langle R \rangle}{\langle I \rangle}

Il vient

\frac{V_R}{\langle R \rangleˆ2} = \frac{V_U}{\langle U \rangleˆ2} + \frac{V_I}{\langle I \rangleˆ2}

Dans ce cas simple, l'incertitude relative sur R correspond à la moyenne géométrique des incertitudes relatives sur U et I :

\frac{\sigma_R}{\langle R \rangle} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_U}{\langle U \rangle}\right)ˆ2 + \left(\frac{\sigma_I}{\langle I \rangle}\right)ˆ2}.

Cette formule est différente de la formule basée sur la différentielle totale exposée ci-dessous :

\frac{\delta R}{R} = \frac{\delta U}{U} + \frac{\delta I}{I}.

La raison en est que la seconde formule considère ce qui peut arriver dans le «pire» des cas : celui où U s'écarte de δU de sa valeur moyenne et où I s'écarte de –δI. Pour retrouver cette formule par application de la loi de propagation des incertitudes, il faut supposer que les variables U et I sont idéalement corrélées (plus précisément, le cœfficient de corrélation est égal à -1 : \operatorname{cov}(U,I)=-\sigma_U \sigma_I)

Utilisation des différentielles totales exactes

Une loi physique s'exprime par une relation algébrique entre un certain nombre de grandeurs mesurables :

La pression selon n, R, T et V s'exprime par

P =\frac{n \times R \times T}{V}

écrivons sa différentielle :

dP =\frac{n \times R}{V} dT + \frac{n  \times T}{V} dR + \frac{ R \times T}{V}dn - \frac{n \times R \times T}{Vˆ2}dV

Si on «remplace» des variations élémentaires de variables dx par les incertitudes sur les variables δx, on obtient :

\delta P =\frac{n \times R}{V}\delta T + \frac{n  \times T}{V}\delta R +\frac{ R \times T}{V}\delta n + \frac{n \times R \times T}{Vˆ2}\delta V

qui donne l'incertitude absolue sur P déduite du calcul de P à partir de la connaissance des incertitudes sur T, R, n et V.

Autres exemples simples :

S = Ll et S + dS = (L + dL) (l + dl) = Ll + Ldl + ldL + dldL
peut s'écrire
dS = ( (L + dL) (l + dl) − Ll) = Ldl + ldL + dLdl
que on approxime par
dS = Ldl + ldL
V (x + dx, y + dy, z + dz) = (x + dx) (y + dy) (z + dz) = xyz + dxyz + xdyz + xydz + xdydz + ydxdz + zdxdy + dxdydz
peut s'écrire
dV = yzdx + zxdy + xydz + dxdydz
que on approxime par dV = yzdx + zxdy + xydz
noter que
dV = yz dx +zx dy +  xy dz = \frac{\partial (xyz) }{\partial x}dx+\frac{\partial (xyz) }{\partial y}dy+\frac{\partial (xyz) }{\partial z}dz
rappel :  \frac{\partial (xyz) }{\partial x}= yz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial y}=xz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial z}=xy
si  \frac{\partial f(x,y,z) }{\partial x} est la dérivée partielle comparé à x
   d f(x,y,z)  = \frac{\partial  f(x,y,z) }{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y,z) }{\partial y}dy+\frac{\partial  f(x,y,z)}{\partial z}dz

Références externes et notes annexes

  1. document «Évaluation des données de mesure — Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure», JCGM/BIPM, édition 2008, accessible via sa référence "JCGM 100 :2008 (F)  ; ce document et ses recommendations forment la norme internationale en matière d'incertitudes de mesures ; le document préparatoire ISBN 92-67-10188-9 "ISO Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement" fut beaucoup diffusé, et est ainsi fréquemment référencé sous l'acronyme de GUM. L'annexe B, "Termes métrologiques généraux" définit exactement les termes d'erreur et d'incertitude.
  2. ce terme de "demie-incertitude" est complètement impropre à l'usage, et n'a ici qu'une valeur de clarification ou d'image pédagogique

Recherche sur Amazon (livres) :



Principaux mots-clés de cette page : incertitudes - calcul - mesure - valeur - loi - formule - variable - erreurs - propagation - intervalle - gaz - estimée - ordre - simple - physique - fonction - termes - grandeur - croissante - décroissante -

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Propagation_des_incertitudes.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 11/11/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu