Structure fine

La structure fine de la raie spectrale d'un atome correspond à sa séparation en plusieurs composantes de fréquences particulièrement proches, détectables par un spectroscope de bonne résolution.



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  • ... cette scission minuscule des niveaux d'énergie, nommée structure fine, était peut-être due au moment angulaire associé à une rotation de l'électron.... (source : books.google)
Structure fine de l'hydrogène : influence de la levée partielle de la dégénérescence du niveau d'énergie n = 2 sur la raie Lyman-α.

La structure fine de la raie spectrale d'un atome correspond à sa séparation en plusieurs composantes de fréquences particulièrement proches, détectables par un spectroscope de bonne résolution.

Cette structure s'explique dans le cadre de la physique quantique. Elle est due à la levée partielle de la dégénérescence d'un niveau d'énergie du modèle de Bohr à cause de trois corrections :

La découverte de la structure fine de l'hydrogène atomique a valu le prix Nobel de physique à Willis Eugene Lamb en 1955.

Correction relativiste

Dans le cas faiblement relativiste, le hamiltonien s'écrit[1]

H = \frac{pˆ2}{2m} - \frac{pˆ4}{8mˆ3cˆ2}.

En partant du hamiltonien de la solution non-relativiste H0 d'états propres \psi_{nlm_l} d'énergie En,

H = H_0 - \frac{1}{2mcˆ2} (H_0-V)ˆ2,

V représente le potentiel, la théorie des perturbations permet d'écrire :

\Delta Eˆ\mathrm{rel}_{nlm_l} = -\frac{1}{8mcˆ2} \left\langle \psi_{nlm_l} | (H_0-V)ˆ2 | \psi_{nlm_l} \right\rangle .

Ainsi :

\Delta Eˆ\mathrm{rel}_{nlm_l} = -\frac{1}{8mcˆ2} \left( E_{n}ˆ2 - 2E_{n} \langle\psi_{nlm_l}|V|\psi_{nlm_l}\rangle + \langle\psi_{nlm_l}|Vˆ2|\psi_{nlm_l}\rangle \right)

Dans le cas d'un hydrogénoïde, le potentiel est coulombien et les états propres non perturbés sont des harmoniques sphériques. L'expression ci-dessus devient :

\Delta Eˆ\mathrm{rel}_{nlm_l} = - \frac{(Z\alpha)ˆ2}{n} \left( \frac{1}{l+1/2} - \frac{3}{4n} \right) |E_{n}|

Zitterbewegung

Couplage spin-orbite

Origine du terme perturbatif

La mécanique quantique relativiste fait apparaître, entre autres, le fait que les électrons possèdent un spin. Ce dernier génère un moment magnétique de spin

\vec{M_s} = \frac{q}{m_e} \vec{S}

Comme l'électron se déplace dans un environnement où règne le champ électrique créé par les charges du noyau et des autres électrons, selon la relativité restreinte, l'électron, dans son référentiel, perçoit un champ magnétique nommé champ motionnel

\vec{B'} = - \frac{\vec{v} \wedge \vec{E}}{cˆ2}

L'énergie associée à cette interaction est donc

W_{so} = - \vec{M_s} \cdot \vec{B'}

Comme le référentiel de l'électron est en rotation et non galiléen, le calcul du champ motionnel nécessite de faire deux changements de référentiels (un en translation et un en rotation) [2]. Le calcul fait par Thomas donne

W_{so} = \frac{1}{2m_eˆ2cˆ2}\frac{1}{r}\frac{{\mathrm d} V}{{\mathrm d} r} \vec{L}\cdot\vec{S}

avec \vec{L} le moment cinétique de l'électron autour du noyau et \vec{S} le moment cinétique de spin de l'électron.

Il est commun de noter ce terme

W_{so} = \xi(r) \vec{L} \cdot \vec{S} {\textrm ∼∼avec∼∼} \xi(r) = \frac{1}{2m_eˆ2cˆ2}\frac{1}{r}\frac{{\mathrm d} V}{{\mathrm d} r}

ce qui sert à valoriser le terme purement radial.

Calcul en perturbation

Dans l'hypothèse où ce terme apporte une contribution faible à l'énergie devant le terme principal H0, on peut le traiter en perturbation. Mais jusque là, il convient de remarquer que le terme \vec{L} \cdot \vec{S} ne commute pas avec \vec{L} et \vec{S}. Il est par conséquent indispensable de trouver un nouvel Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC). Pour ce faire, le moment cinétique total

\vec{J} ∼ \stackrel{def}{=} \sum \vec{L} ∼∼ \Leftrightarrow ∼∼ \vec{J} = \vec{L} + \vec{S}

est utilisé en lieu et place de chaque moments cinétiques et le nouvel ECOC devient H, L2, S2, J2, Jz[3]. La base des vecteurs propres communs devient alors \left| \psi_{nlsjm_j} \right\rangle avec mj = ml + ms. Il en résulte

Jˆ2 = Lˆ2 + Sˆ2 + 2 \vec{L} \cdot \vec{S} ∼∼ \Leftrightarrow ∼∼ \vec{L} \cdot \vec{S} = \frac{1}{2} \left( Jˆ2 - Lˆ2 - Sˆ2 \right)

d'où

W_{so} = \frac{1}{2} \xi(r) \left( Jˆ2 - Lˆ2 - Sˆ2 \right)


La théorie des perturbations permet d'écrire :

\Delta E_{nlsj}ˆ{so} = \frac{1}{2} \left\langle \psi_{nlsjm_j} \left| \xi(r) \left( Jˆ2 - Lˆ2 - Sˆ2 \right) \right| \psi_{nlsjm_j} \right\rangle

En posant

\frac{A_{nl}}{\hbarˆ2} = \int_0ˆ\infty \left| R_{nl} \right|ˆ2 \xi(r) rˆ2 {\mathrm d}r

le résultat est :

\Delta E_{nlsj}ˆ{so} = \frac{A_{nl}}{2} \left[ j(j+1) - l(l+1) - s(s+1) \right]

Exemple avec les alcalins

Ici s = 1 / 2 par conséquent s (s + 1) = 3 / 4.

Excepté pour les couches S, il y a une levée partielle de la dégénérescence des niveaux d'énergies. Cela se traduit par un dédoublement de ces niveaux (Exemple du sodium qui possède un dédoublement de la raie d'émission jaune en deux raies respectivement à 589, 0nm et 589, 6nm)

Le barycentre des niveau n'est pas déplacé.

Voir aussi

Bibliographie

Notes et références

  1. La formule peut s'obtenir empiriquement en développant au premier ordre l'énergie cinétique donnée par la Relativité restreinte E = [p2c2 + m2c4]1/2mc2. Une dérivation cohérente dans le cadre de la physique quantique se fait à partir de l'équation de Dirac.
  2. Le calcul fait dans l'approximation d'un référentiel galiléen donne un résultat erroné d'un facteur \frac{1}{2}
  3. Ici le choix de Jz comparé aux autres coordonnées est purement arbitraire et n'a aucune influence sur le résultat du calcul.

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 11/11/2010.
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