Système d'unités géométriques

En relativité générale, le système d'unités géométriques est un système d'unités réduisant la totalité des grandeurs physiques à des longueurs ou des puissances de longueurs.



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Relativité générale - Unité de mesure - Grandeur physique - Métrologie

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En relativité générale, le système d'unités géométriques est un système d'unités réduisant la totalité des grandeurs physiques à des longueurs ou des puissances de longueurs. Il vise à proposer une écriture plus simple des équations propres à la relativité générale en omettant deux constantes principales : la vitesse de la lumière c et la constante de gravitation G, c'est-à-dire en considérant que les unités de masse et de temps en vigueur sont telles que ces quantités valent 1. Dans les situations où interviennent des unités électriques, on ajoute la contrainte que la quantité 4πε0 vaut 1, ε0 étant la permittivité du vide.

La raison d'être de ce dispositif est de nature mathématique, la relativité générale pouvant être ainsi formalisée sans l'utilisation des constantes principales : la présence et la valeur de celles-ci dépendent seulement des choix (qui d'un point de vue théorique apparaît quelque peu arbitraire, quoiqu'ils aient évidemment en pratique des raisons d'être pertinentes) des différentes constantes principales.

Ainsi, les équations d'Einstein s'écrivent-elles dans le système international d'unités

G_{ab} = \frac{8 \pi G}{cˆ4} T_{ab},

Gab est le tenseur d'Einstein et Tab le tenseur énergie-impulsion de la matière. En unités géométriques, il s'écrit plus simplement

Gab = 8πTab.

les composantes du tenseur énergie impulsion étant implicitement modifiées du facteur numérique ad hoc pour la validité de l'égalité.

Tableau de conversion

D'une façon plus générale, le tableau ci-dessous donne les unités de certaines grandeurs physiques ; leur unité réduite dans le dispositif géométrique ; et le facteur par lequel elles sont multipliées pour passer de leur valeur à leur valeur réduite.

À noter que cette table de conversion dépend explicitement de la dimension de l'espace-temps, reconnue égale à quatre ci-après. En effet, la dimension de la constante gravitationnelle dépend explicitement du nombre de dimensions de l'espace.

Grandeur Dimension SI Dimension géométrique Facteur multiplicatif
Longueur [L] [L] 1
Durée [T] [L] c-1
Masse [M] [L] G c-2
Vitesse [L T-1] 1 c-1
Vitesse angulaire [T-1] [L-1] c-1
Accélération [L T-2] [L-1] c-2
Énergie [M L2 T-2] [L] G c-4
Densité d'énergie [M L-1 T-2] [L-2] G c-4
Moment cinétique [M L2 T-1] [L2] G c-3
Force [M L T-2] 1 G c-4
Puissance [M L2 T-3] 1 G c-5
Pression [M L-1 T-2] [L-2] G c-4
Masse volumique [M L-3] [L-2] G c-2
Charge électrique [I T] [L] G1/2 c-2 (4πε0) -1/2
Potentiel électrique [M L2 T-3 I-1] 1 G1/2 c-2  (4πε0) 1/2
Champ électrique [M L T-3 I-1] [L-1] G1/2 c-2  (4πε0) 1/2
Champ magnétique [M T-2 I-1] [L-1] G1/2 c-1  (4πε0) 1/2
Potentiel vecteur [M L T-2 I-1] 1 G1/2 c-1  (4πε0) 1/2

Dans le tableau ci-dessus, les quantités L, T, M et I se réfèrent respectivement à des longueurs, durées, masses et intensités électriques.

Conversion géométrique des SI unités de base

Conversion des kg, s, C, K en m :

Conversion des m, s, C, K en kg :

Conversion des m, kg, C, K en s

Conversion des m, kg, s, K en C

Conversion des m, kg, s, C en K

Exemple

La composante temporelle gtt de la métrique d'un trou noir de Reissner-Nordström de masse m et de charge électrique q s'écrit

g_{tt} = cˆ2 - \frac{2 G m}{r} + \frac{G qˆ2}{4 \pi \epsilon_0 cˆ2 rˆ2}.

Dans le dispositif d'unités géométriques, cette quantité devient

g_{tt} = 1 - \frac{2 M}{rˆ2} + \frac{Qˆ2}{rˆ2},

où cette fois la composante se transforme en un nombre sans dimension (par division par c2), et la masse M et la charge Q sont écrites en unités géométriques, c'est-à-dire que numériquement elles correspondent à

M = \frac{G m}{cˆ2},
Qˆ2 = \frac{G qˆ2}{4 \pi \epsilon_0 cˆ4}.

Avantages et inconvénients

L'écriture des différentes formules affranchie de leurs unités du dispositif international est significativement plus simple (voir l'exemple ci-dessus). Par contre, elle présente l'inconvénient de rendre fréquemment plus complexe l'évaluation des ordres de grandeur. Surtout, les calculs du rayonnement gravitationnel d'un dispositif astrophysique sont énormément plus aisément interprétables en unités SI qu'en unités géométriques. Qui plus est , dans les situation où la constante de gravitation G est variable au cours du temps (théorie tenseur-scalaire), le dispositif d'unités géométriques ne peut être employé qu'avec circonspection.

Référence

(en) Robert M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press, 1984, 498 pages (ISBN 0226870332) , page 470 et 471.

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