Taux d'amortissement

Le taux d'amortissement est une grandeur sans dimension caractérisant l'évolution et la décroissance au cours du temps des oscillations d'un dispositif physique.

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Le taux d'amortissement (damping ratio) est une grandeur sans dimension caractérisant l'évolution et la décroissance au cours du temps des oscillations d'un dispositif physique. Il prend en compte surtout l'effet des frottements et la nature des matériaux. Il dépend de la température. Le taux d'amortissement permet surtout de déterminer totalement la nature du régime transitoire du dispositif.

Cas de l'oscillateur harmonique amorti

Différents régimes de retour à l'équilibre d'un dispositif selon la valeur du taux d'amortissement ζ. On observe les régimes apériodique (ζ>1), critique (ζ=1), pseudo-périodique (ζ<1) et harmonique (?=0). La courbe représente les oscillations (x (t) ) relatives à la position de départ (x (0) ) d'un oscillateur mécanique à une dimension sans vitesse d'origine. ω₀ est la pulsation propre du dispositif.

Pour un oscillateur harmonique amorti, constitué d'une masse m, amorti par frottement fluide de cœfficient c et soumis à une force de rappel élastique de constante de raideur k, l'équation différentielle modélisant le comportement de l'oscillateur est :

$m \frac{dˆ2x}{dtˆ2} + c \frac{dx}{dt} + k x = 0$ .

Il est envisageable de réécrire cette équation sous la forme canonique :

$\frac{dˆ2x}{dtˆ2} + 2 \zeta \omega_0 \frac{dx}{dt} + \omega_0ˆ2 x = 0$ ,

où $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ est la pulsation propre de l'oscillateur harmonique et $\zeta = \frac{c}{2\sqrt{k m}}$ est le taux d'amortissement.

On résout le polynôme caractéristique associé :

$\omegaˆ2 + 2 \zeta \omega_0 \omega + \omega_0ˆ2 = 0$ .

D'où $\omega = \omega_0(- \zeta \pm \sqrt{\zetaˆ2 - 1})$ .

Différents régimes

Périodique : si ω est purement imaginaire, la solution est une sinusoïde de la forme $eˆ{\pm j \omega_0 t}$ . Ceci correspond au cas d'un oscillateur harmonique. Il apparaît pour le cas limite $ζ = 0$ .

Pseudo-périodique : si ω est complexe, la solution est le produit d'une exponentielle décroissante et d'une sinusoïde de la forme $eˆ{\omega_0(- \zeta \pm j \sqrt{1 - \zetaˆ2}) t}$ . Ce phénomène apparaît pour $ζ < 1$ .

Apériodique critique : c'est la frontière entre le régime pseudo-périodique et le régime apériodique. C'est fréquemment la solution optimale à un problème d'oscillations amorties. Il apparaît pour le cas limite $ζ = 1$ .

Apériodique : si ω est réelle, la solution est simplement une exponentielle décroissante sans oscillation. Il apparaît pour le cas $ζ > 1$ .

Annexes

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