Théorie de la diffraction sur un cristal

La théorie de la diffraction sur un cristal modélise l'interaction rayonnement-matière dans le cas où la matière est organisée de manière ordonnée.


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Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Chapitre III : Éléments de cristallographie et théorie de la diffraction des rayons X par les cristaux 3.1- L'expérience de Laue... (source : impmc.upmc)
  • Sur la théorie de la diffraction de la lumière par des ultrasons transversaux dans un cristal uniaxeOn the theory of light diffraction by transverse... (source : cat.inist)
  • Théorie dynamique de la diffraction magnétique des neutrons.... Diffraction sur un cristal ferro- ou ferrimagn6tique : cas d'une raie purement nucl6aire.... (source : scripts.iucr)

La théorie de la diffraction sur un cristal modélise l'interaction rayonnement-matière dans le cas où la matière est organisée de manière ordonnée (voir aussi Cristallographie).

Ces phénomènes interviennent principalement dans les méthodes d'analyse et d'observation de la matière :

On peut en avoir une approche simplifiée purement géométrique avec l'ressemblance avec un réseau de diffraction et la loi de Bragg.

Dans une large mesure, l'analyse est indépendante de la nature de la radiation incidente : rayonnement électromagnétique (rayons X) ou particule (électrons, neutrons). Cependant, la nature du rayonnement intervient pour une analyse plus fine.

Diffusion par les atomes

Le phénomène à la base de la diffraction par un cristal est la diffusion du rayonnement par les atomes. On considère exclusivement une diffusion élastique (le rayonnement ne perd pas d'énergie), il s'agit par conséquent de diffusion Rayleigh.

Cette diffusion est anisotrope ; cependant, pour une première approche, on considère généralement par approximation que cette diffusion est isotrope, c'est-à-dire que l'intensité diffusée par chaque atome est indépendante de la direction de l'espace.

Pour simplifier, on considère un rayonnement monochromatique. Le rayonnement de longueur d'onde λ peut être décrit par sa fonction d'onde ψ en tout point \vec{x} de l'espace ainsi qu'à chaque instant t :

\psi (\vec{x},t) = \psi_0 \cdot eˆ{i \left ( \omega t -2 \pi \vec{k} \cdot \vec{x} + \varphi_0 \right )}

où φ0 est la phase à l'origine spatiale et temporelle, \vec{k} est le vecteur d'onde[1]

||\vec{k}|| = \frac{1}{\lambda}

et ω est la pulsation

\omega = \frac{2\pi c}{\lambda}

c étant la vitesse de la lumière.

On choisit arbitrairement l'origine telle que φ0 = 0.

Une maille donnée du cristal se compose de n atomes. Chaque atome j positionné en \vec{r}_j diffuse les rayonnements de manière élastique. Considérons l'onde diffusée ayant un vecteur d'onde \vec{k}' :

La fonction de l'onde diffusée par l'atome j est ψj et s'écrit :

 \psi_j (\vec{x},t) = \psi_0 \cdot eˆ{i \left ( \omega t + \varphi (\vec{x} ) \right )} \cdot f_j

où φ est le déphasage de l'onde en \vec{x} comparé à l'origine spatiale et ƒj est le facteur de diffusion atomique, qui dépend de la densité du nuage électronique de l'atome, par conséquent de sa nature chimique.

Le déphasage φ est la somme de deux contributions :

\varphi_1 = - 2 \pi \vec{k} \cdot\vec{r}_j ;
\varphi_2 = - 2 \pi \vec{k}' \cdot(\vec{x}-\vec{r}_j) ;
\varphi (\vec{x} ) = \varphi_1 + \varphi_2 = - 2 \pi \left ( \vec{k} \cdot \vec{r}_j + \vec{k}' \cdot(\vec{x}-\vec{r}_j) \right ) = 2 \pi \left ( (\vec{k}'-\vec{k})\cdot \vec{r}_j - \vec{k}' \cdot \vec{x} \right ) ;
Vecteur de diffraction : différence entre le vecteur de l'onde diffusée et celui de l'onde incidente

Si on définit le vecteur de diffraction \vec{K} comme étant

\vec{K} = \vec{k}' - \vec{k}

on a alors :

 \psi_j = \psi_0 \cdot eˆ{i ( \omega t - 2 \pi \vec{k}' \cdot \vec{x} )} \cdot f_j \cdot eˆ{ \left ( i 2 \pi \vec{K} \cdot \vec{r}_j \right )}

Note
On ne considère qu'une direction de diffusion à la fois, la «direction d'observation» (par exemple direction dans laquelle se trouve le détecteur ponctuel de rayonnement permettant de la mesure ou emplacement donné du film photographique ou du détecteur à résolution spatiale), et par conséquent qu'un seul vecteur de diffraction ; mais l'onde est bel et bien diffusée dans l'ensemble des directions simultanément.

Influence de l'organisation de la matière

Facteur de structure

Facteur de structure : interférence des ondes diffusées par les atomes de la maille

On peut désormais se placer non plus à l'échelle d'un atome, mais à l'échelle d'une maille cristalline. L'onde ψ'diffractée par la maille est la somme des ondes diffusées par chacun de ses n atomes :

\psi' = \sum_{j = 1}ˆn \psi_j = \psi_0 \cdot eˆ{i (\omega t - 2 \pi \cdot \vec{k}' \cdot \vec{x})} \cdot \sum_{j = 1}ˆn f_j \cdot eˆ{ \left ( i 2 \pi \cdot \vec{K} \cdot \vec{r}_j\right )}

On définit le facteur de structure F comme étant :

F(\vec{K}) = \sum_{j = 1}ˆn f_j \cdot eˆ{ \left ( i 2 \pi \cdot \vec{K} \cdot \vec{r}_j\right )}

on a donc

\psi'(\vec{x},t) = \psi_0 \cdot eˆ{i (\omega t - 2 \pi \cdot \vec{k}' \cdot \vec{x})} \cdot F(\vec{K})

On a reconnu ici que l'onde était diffusée par un atome ponctuel. En toute rigueur, dans le cas de la diffracion de rayons X, l'onde est diffusée par le nuage électronique, qui est une fonction continue de l'espace. Il faut par conséquent définir en chaque point \vec{r} de la maille un facteur de diffusion local f(\vec{r}), le facteur de structure s'écrivant alors :

F(\vec{K}) = \int \int \int_{\rm maille} f(\vec{r}) \cdot eˆ{ \left ( i 2 \pi \cdot \vec{K} \cdot \vec{r}\right )} \cdot dv

dv étant l'élément de volume reconnu autour de la position \vec{r}.

On voit mais aussi le facteur de structure est la transformée de Fourier de la distribution électronique (pour les rayons X) dans la maille élémentaire.

Facteur de forme

Facteur de forme : interférence des ondes diffractées par les différentes mailles du cristallite

Le cristal se compose de m mailles. La fonction ψ'l de l'onde diffractée par une maille l positionnée en \vec{u}_l s'écrit :

\psi'_l (\vec{x},t) = \psi_0 \cdot eˆ{i (\omega t - 2 \pi \vec{k}'\cdot\vec{x})} \cdot F(\vec{K}) \cdot eˆ{ \left ( i 2 \pi \cdot \vec{K} \cdot \vec{u}_l \right )}

(ceci se montre de manière comparable à auparavant en considérant le déphasage entre la source et la maille, puis entre la maille et le point \vec{x}).

L'onde ψ''diffractée par la totalité du cristal est la somme des ondes diffractées par chaque maille, soit :

\psi'' (\vec{x},t) = \psi_0 \cdot eˆ{i (\omega t - 2 \pi \vec{k}'\cdot\vec{x})} \cdot F(\vec{K}) \cdot \sum_{l = 1}ˆm eˆ{ \left ( i 2 \pi \cdot \vec{K} \cdot \vec{u}_l \right )}

On définit le facteur de forme S_{\vec{K}} par :

S_{\vec{K}} = \sum_{l = 1}ˆm eˆ{ \left ( i 2 \pi \cdot \vec{K} \cdot \vec{u}_l \right )}

on a donc

\psi'' (\vec{x},t) = \psi_0 \cdot eˆ{i (2 \pi \vec{k}'\cdot\vec{x} - \omega t)} \cdot F(\vec{K}) \cdot S_{\vec{K}}

S_{\vec{K}} dépend de la forme du cristal, d'où son nom. C'est ce facteur qui intervient dans l'élargissement des raies quand la taille des cristallites est faible (inférieure à 1 μm).

Article détaillé : Formule de Scherrer.

Intensité diffractée

L'intensité diffractée I dans un point de l'espace \vec{x} est proportionnelle au carré de la norme du vecteur de la fonction d'onde :

I (\vec{x}) \propto |\psi''(\vec{x},t)|ˆ2

On a un effet d'atténuation selon l'éloignement qui fluctue selon l'inverse du carré de la distance : il s'agit simplement de la «répartition» de l'énergie sur une sphère (diminution de la densité angulaire). Si on corrige ce phénomène, alors l'intensité ne dépend que de la direction de l'espace, qu'on peut donner par le vecteur de l'onde diffractée \vec{k}' :

I (\vec{k}') \propto |\psi''(\vec{x},t)|ˆ2 avec ||\vec{x}|| fixé arbitrairement,

soit

I (\vec{k}') \propto |F(\vec{K})|ˆ2 \cdot |S_{\vec{K}}|ˆ2.

D'autres facteurs interviennent, surtout la géométrie de l'appareil de mesure, l'optique, l'absorption du rayonnement diffracté par l'atmosphère entre le cristal et le détecteur,  etc. A titre d'exemple, l'intensité peut fluctuer selon l'inclinaison du détecteur comparé à l'échantillon.

Conditions de diffraction

Condition de Laue

Dans un diagramme de diffraction, un pic (ou un point si c'est une figure 2D) correspond à un maximum d'intensité, c'est-à-dire à un maximum local de F. Intuitivement, F est maximal quand les rayons diffusés par les atomes de la cellule sont tous en phase. Si on considère deux atomes j et l, on doit avoir

2\pi \vec{K}\cdot \vec{r}_j \equiv 2\pi \vec{K}\cdot \vec{r}_l [2\pi] (eq1)

Soit (\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3) la base du réseau direct ; les positions des atomes s'écrivent

\vec{r}_j = x_j \cdot \vec{e}_1 + y_j \cdot \vec{e}_2 + z_j \cdot \vec{e}_3

xj, yj et zj sont des nombres entiers.

Considérons la base de l'espace réciproque (\vec{e}ˆ*_1,\vec{e}ˆ*_2,\vec{e}ˆ*_3) avec

\vec{e}ˆ*_1 = \frac{\vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3}{V}
\vec{e}ˆ*_2 = \frac{\vec{e}_3 \wedge \vec{e}_1}{V}
\vec{e}ˆ*_3 = \frac{\vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2}{V}

V étant le volume de la maille

V = \vec{e}_1 \cdot (\vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3)

Obtenir la condition générale de diffraction revient à appliquer la condition (eq1) à l'ensemble des atomes de la maille deux à deux. On peut montrer que cela impose aux produits scalaires \vec{K}\cdot \vec{e}_i d'être entiers (i = 1, 2, 3). Or les relations de définition de la base réciproque ci-dessus imposent

\vec{e}_i\cdot\vec{e}ˆ*_j=\delta_{ij}

et donc, si on écrit le vecteur de diffraction \vec K comme une combinaison linéaire à cœfficients entiers des vecteurs de la base réciproque, alors ses composantes \vec{K}\cdot \vec{e}_i dans la base directe sont bien entières. On définit par conséquent (h, k, l) entiers tels que :

\vec{K} = h \cdot \vec{e}ˆ*_1 + k \cdot \vec{e}ˆ*_2 + l \cdot \vec{e}ˆ*_3

L'équation ci-dessus est la condition de diffraction de Laue (dont on peut montrer qu'elle est équivalente à la condition de Bragg. ). On interprète les nombres (h k l) comme étant des indices de Miller : si le faisceau incident est de direction constante (\vec k constant), cela revient à dire que les directions de diffraction \vec k' donnant un maximum d'intensité sont telles que les \vec K=\vec k' -\vec k sont orthogonaux aux plans (h k l), puisqu'on sait que les rangées [h k l]*, définies par leur colinéarité à h \cdot \vec{e}ˆ*_1 + k \cdot \vec{e}ˆ*_2 + l \cdot \vec{e}ˆ*_3 = \vec K, sont orthogonales aux plans (h k l).

On peut ainsi indexer les vecteurs d'onde donnant des maxima d'intensité par les indices de Miller et écrire \vec{K}_{hkl}. On peut aussi indexer les facteurs de structure correspondants : F_{hkl} = F(\vec{K}_{hkl})

Les lieux des extrémités des \vec{K}_{hkl} forment un réseau dans l'espace réciproque, nommé réseau réciproque. On peut par conséquent associer chaque point du réseau réciproque (c'est-à-dire chaque vecteur \vec{K}_{hkl}) à un plan cristallographique, d'indices de Miller (h k l), plan perpendiculaire à \vec{K}_{hkl}.

Remarque : On définit les indices de Miller h, k, l comme devant être premiers entre eux, les vecteurs \vec{K}_{h' k' l'} (où (h', k', l') =i (h, k, l) , i étant un entier relatif) se rapportent tous aux mêmes indices h, k, l, ou encore à une direction [h k l]*, à laquelle une illimitété de rangées de points de l'espace réciproque sont parallèles. On peut par conséquent désormais associer à une famille de rangées parallèles d'indices [h k l]* une famille de plans parallèles d'indices (h k l). Ce choix d'indices de Miller premiers entre eux traduit le fait qu'en cristallographie on s'intéresse aux directions (plans et rangées) dans le cristal et non à un plan ou à une rangée spécifique dans le cristal.

En pratique, lors d'une expérience de diffraction des rayons X, on obtient une figure de diffraction (cliché de Laue par exemple), sur laquelle on visualise les maxima d'intensité. On peut montrer que les symétries d'un réseau direct (associé au cristal) sont les mêmes que celles du réseau réciproque associé (associé aux directions de diffraction)  : cela veut dire que les symétries de la figure de diffraction doivent se retrouver parmi les symétries du cristal.

Une méthode graphique pour trouver les vecteurs de diffraction : la sphère d'Ewald

Selon la condition de Laue, il y a diffraction si

\exists (h,k,l) \in {\mathbb Z},  \vec{K} = \vec{K_{hkl}} (eq2)

donc si \vec{K} est un vecteur du réseau réciproque d'un des cristallites éclairés.

Géométrie de Bragg-Brentano

Symétrie des vecteurs d'onde quand le vecteur de diffraction garde la même direction

Etudions seulement le cas où le vecteur de diffraction garde toujours la même orientation comparé au cristallite (la bissectrice entre le faisceau incident et la direction d'observation est toujours sur la même droite)  ; cela veut dire que les vecteurs de l'onde incidente et de l'onde diffusée sont toujours symétriques comparé à cette direction, dans l'espace réel comme dans l'espace réciproque. Cela correspond à la géométrie de Bragg-Brentano, on place le détecteur de manière symétrique à la normale à l'échantillon passant par le centre de ce dernier.

Plaçons-nous dans le cas d'un monocristal. On voit que selon la déviation du faisceau, c'est-à-dire l'angle que fait le faisceau incident avec la direction d'observation, on est en condition de diffraction ou pas.

Supposons à présent qu'on fasse tourner le cristallite dans l'ensemble des sens durant la mesure, ou, ce qui est équivalent, que l'échantillon soit constitué d'une grande variété de cristallites orientés dans l'ensemble des sens (poudre). Alors, il faut superposer l'ensemble des réseaux réciproques pour connaître les déviations donnant un pic/point de diffraction. Cela donne des sphères concentriques ; il y a diffraction si le vecteur de diffraction rencontre une sphère.

Incidence fixe

Sphère d'Ewald : positions envisageables de l'extrémité du vecteur de diffraction quand l'incidence est fixe, cas d'un monocristal

Considérons qu'à un instant donné, le vecteur de l'onde incidente \vec{k} est toujours le même (la position de l'échantillon comparé à la source ne change pas et la source est ponctuelle). On n'impose pas ici de direction d'observation, le vecteur de l'onde diffusée \vec{k}' peut par conséquent prendre l'ensemble des orientations envisageables, mais il a toujours la même norme ; il décrit par conséquent une sphère de rayon 1/λ. Les vecteurs de diffraction \vec{K} = \vec{k}' - \vec{k} envisageables forment par conséquent une sphère de même rayon mais dont le centre est localisé en -\vec{k} comparé à l'origine du réseau réciproque, par définition du vecteur de diffraction. Cette sphère se nomme la «sphère d'Ewald[2]» (ou «sphère de réflexion»), et elle contient l'origine O du réseau réciproque.

L'intersection de la sphère des nœuds des réseaux réciproques (dans le cas d'une poudre) des cristallites et de la sphère d'Ewald étant un cercle, les vecteurs des ondes diffusées en condition de diffraction forment un cône

Les directions dans lesquelles on aura de la diffraction sont par conséquent données par l'intersection de la sphère d'Ewald avec les sphères des \vec{K}_{hkl}. L'intersection de deux sphères non concentriques, quand elle existe, est un cercle. On en déduit que les extrémités des vecteurs de diffraction pour lesquels il y a diffraction forment un cercle, par conséquent que les extrémités des vecteurs d'onde diffusée pour lesquels il y a diffraction décrivent un cercle, c'est-à-dire que : les rayons diffractés forment des cônes.

Sphère de résolution, obtenue par la rotation de la sphère d'Ewald autour de l'origine ; son rayon vaut 2/λ

Considérons à présent qu'on garde le réseau réciproque immobile (monocristal), mais qu'on fait tourner la sphère d'Ewald. On voit que la sphère d'Ewald va balayer une boule de centre O et dont le rayon est le diamètre de la sphère d'Ewald. Les points contenus dans cette «supersphère» correspondent aux différentes conditions de diffraction envisageables ; les points à l'extérieur ne peuvent pas, dans les conditions de mesure données (c'est-à-dire pour la longueur d'onde λ donnée), donner de diffraction. Cette «supersphère» est nommée «sphère de résolution», elle a un rayon de 2/λ.

Si λ est trop grand, la sphère de résolution ne contient que le centre du réseau réciproque, la diffraction n'est par conséquent pas envisageable. C'est pourquoi il faut recourir à des rayonnement de longueur d'onde suffisamment petite (rayons X ou particules ayant une vitesse suffisamment élevée) pour pouvoir caractériser un réseau cristallin.

Rotation de la sphère d'Ewald et géométrie de Bragg-Brentano (direction du vecteur de diffraction imposée)

Si on se remet dans une géométrie de Bragg-Brentano (direction du vecteur de diffraction fixée), le vecteur de diffraction est obtenu en prenant l'intersection de la sphère avec l'axe de la direction imposée.

Facteur de forme et réseau réciproque

Pour les conditions de diffraction, nous n'avons reconnu jusqu'ici que le facteur de structure. Les conditions de diffraction pour un monocristal se représentent comme un réseau ponctuel dans l'espace réciproque.

Ceci ne serait vrai que pour un monocristal de dimension «illimitée». Pour un cristallite de taille finie, on a une diffraction au sens diffraction de Fraunhofer ; sur un film photographique, la trace de diffraction n'est par conséquent pas un ensemble de points illimitément petits, mais des taches d'Airy.

Article détaillé : Théorie de la diffraction.

Dans l'espace réciproque, la condition de diffraction n'est pas un réseau de points, mais un réseau de taches tridimensionnelles.

La forme de ces taches dans l'espace réciproque est décrite par le facteur de forme. De manière classique en matière de diffraction, la tache du réseau réciproque est plus étendue dans la direction perpendiculaire à la dimension la plus étroite du cristallite.

Si le cristallite est sphérique mais de petite taille (inférieure au micromètre), la tache dans l'espace réciproque sera de symétrie sphérique, la densité décroissant avec le rayon (l'intensité diffractée étant proportionnelle à cette densité).

Si le cristallite est un disque (cylindre aplati dans son axe), la tache de diffraction sera une aiguille (cylindre de faible rayon mais étiré selon son axe).

Théorie cinétique et théorie dynamique

Nous avons exposé ci-dessus la théorie dite «cinétique» de la diffraction. Dans la théorie cinétique, on considère que l'onde diffusée par les nœuds ne diffracte pas elle-même. Cette hypothèse est valable quand l'intensité diffractée est faible devant l'intensité incidente, ce qui est le cas avec les rayons X et les neutrons.

Cette hypothèse n'est généralement plus valable avec les électrons, sauf dans le cas de la diffraction par une lame mince (dans un microscope électronique en transmission). On a alors recours à la théorie dite «dynamique».

Notes

  1. certains auteurs définissent k = 2π/λ et écrivent \psi (\vec{x},t) = \psi_0 \cdot eˆ{\left ( i ( \omega t - \vec{k} \cdot \vec{x} ) \right )}
  2. Paul Peter Ewald, physicien allemand, 1921

Voir aussi

Liens externes

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