Tonneau

Pour trouver la capacité d'un tonneau, ou jaugeage, énormément de formules ont été proposées, mais aucune ne donne précisément le volume.



Catégories :

Volume - Grandeur physique - Métrologie

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • ... Formule volume cône tronqué. «r» étant la surface du couvercle, «R» la surface de la base. Le volume du tonneau gaulois ne peut être... (source : balsamique.iclore)
  • Mais impossible de trouver une formule intégrable d'arc de cercle. J'ai calculé l'aire de la coupe du tonneau (l'aire en blanc sur le dessin... Pour ce qui est de faire "tourner" une surface pour génère un volume, ... (source : ilemaths)
  • La formule générale est toujours : Aire de la base × Hauteur... le tonneau : Kepler donne une formule approchée pour le volume d'un tonneau, ... un hyperboloïde (En mathématiques, un hyperboloïde est une surface du second degré de ... (source : techno-science)

Pour trouver la capacité d'un tonneau, ou jaugeage, énormément de formules ont été proposées, mais aucune ne donne précisément le volume. Après un rappel historique des différents auteurs, d'autres formules seront expliquées et proposées. Des formules complémentaires, selon la hauteur de liquide, ou encore relatives aux surfaces, seront aussi présentées.

Quelques formules historiques

Tonneau couché

V = \frac {\pi L} {12} (Dˆ2+Dd+dˆ2)

V = \frac {\pi L}{12} (2Dˆ2+dˆ2)

V = \frac {\pi L}{4} \left( d + \frac 23 (D-d) \right)ˆ2

Ou encore : V = \frac {\pi L}{36} (2D+d)ˆ2

V = \frac {\pi L}{4}\left( d + \frac 38 (D-d) \right)ˆ2

Ou encore : V = \frac {\pi L}{256} (5D+3d)ˆ2

V = 0, 625C3

Dans laquelle C représente la diagonale allant du trou de bonde au point le plus éloigné de ce trou. Elle est particulièrement rapide, car elle n'exige qu'une seule mesure. On peut même avoir immédiatement le volume en marquant sur une règle les volumes calculés selon les C correspondants.

Calcul

La forme générale des tonneaux consiste en une surface de révolution génèrée par une portion de courbe et terminée par deux plans parallèles équidistants de l'équateur. Cette courbe génératrice passe par trois points.

V = \int S\, \mathrm dx

S est la surface du disque de rayon y

V = 2\pi\int_0ˆ{\frac{L}{2}} yˆ2\, \mathrm dx

Exemples :

C'est une courbe passant par trois points particulièrement commode en mathématiques.

Et la parabole s'exprime par : y = ax2 + b

Avec  a=\frac{2(d-D)}{Lˆ2} et b=\frac D2

Le polynôme s'intègre aisément, et on obtient : V=\frac {\pi L} {60} (8Dˆ2+3dˆ2+4Dd)

Elle a pour équation :

\frac{xˆ2}{aˆ2}+\frac{yˆ2}{bˆ2}=1

a=\frac{L}{2\sqrt{1-(\frac {d}{D})ˆ2}} et b=\frac {D}2

D'où la formule

V=2\pi bˆ2\int_0ˆ\frac{L}{2}\left(1-\frac{xˆ2}{aˆ2}\right)\mathrm dx s'intègre aisément elle aussi, et on obtient

V=\frac{\pi L}{12}(2Dˆ2+dˆ2)

On retrouve la formule d'Oughtred.

C'est la courbe qui vient immédiatement à l'esprit, car elle est facile à tracer au compas, mais elle est complexe à manipuler. L'équation s'exprime par :

x2 + (yb) 2 = R2

avec b=\frac{Dˆ2-dˆ2-Lˆ2}{4(D-d)} et R=\frac{(D-d)ˆ2+Lˆ2}{4(D-d)}

V=2\pi \int_0ˆ\frac{L}{2}(b+\sqrt{Rˆ2-xˆ2})ˆ2\mathrm dx

V=\pi\left(L\left(bˆ2+Rˆ2-\frac{Lˆ2}{12}\right)+2bRˆ2\left(\arcsin\frac{L}{2R}+\frac{L}{2R}\sqrt{1-\left(\frac{L}{2R}\right)ˆ2}\right)\right)

Plus simplement on peut prendre deux droites génératrices. On obtient deux troncs de cône.

V = \frac {\pi L} {12} (Dˆ2+Dd+dˆ2)

C'est la formule de Kepler.

Une poutre sur deux appuis simples ou une poutre encastrée se déforme en flexion selon une courbe :

y=\frac {D-d}{2}\Bigl(4\left(\frac{x}{L}\right)ˆ3-3\frac{x}{L}\Bigr)-\frac{d}{2}

V=\frac{\pi L}{560}(68Dˆ2+33dˆ2+36dD)


Cosinus

y = acosbx avec a=\frac{D}{2} et b=\frac{2}{L}\arccos \frac{d}{D}

V=2\pi\int_0ˆ\frac{L}{2} \frac{Dˆ2}{4} \cosˆ2 bx\mathrm dx

 V=\frac{\pi Dˆ2 L}{8}(1+\frac{\frac {d}{D}\sqrt{1-(\frac{d}{D})ˆ2}}{\arccos \frac{d}{D}})

Cosinus hyperbolique

y = acoshbx avec a=\frac{d}{2} et b=\frac{2}{L} \operatorname{argcosh} \frac{D}{d}

V=2\pi\int_0ˆ\frac{L}{2} \left(\frac{D+d}{2}-a\coshˆ2 bx\right)\mathrm dx

 V=\pi L\left (\left(\frac{D+d}{2}\right)ˆ2+\frac{dˆ2}{8}-\frac{d}{8}(3D+4d)\frac{\sqrt{(\frac{D}{d})ˆ2-1}}{\operatorname{argcosh}\frac{D}{d}}\right)

Hyperbole

\frac{yˆ2}{bˆ2}-\frac{xˆ2}{aˆ2}=1

a=\frac{L}{2\sqrt{(\frac{D}{d})ˆ2-1}} et b=\frac{d}{2}

 \begin{align}V&=\pi L\Bigg[\left(\frac{D+d}{2}\right)ˆ2+\frac{dˆ2}{6}+\frac{Dˆ2}{12} \\ \ & -\frac{d(D+d)}{4\sqrt{\left(\frac{D}{d}\right)ˆ2-1}}\left(\frac{D}{d}\sqrt{\left(\frac{D}{d}\right)ˆ2-1}+\operatorname{argsinh} \sqrt{\left(\frac{D}{d}\right)ˆ2-1}\right)\Bigg]\end{align}

Tonneau à section elliptique

Soient A et B les diamètres de la section elliptique du bouge, et soient a et b les diamètres des fonds.

Si on a des paraboles comme génératrices, on a les formules :

Dans le plan x0y :

y=\frac{2(a-A)}{Lˆ2}xˆ2+\frac A2

Dans le plan x0z :

z=\frac{2(b-B)}{Lˆ2}xˆ2+\frac B2

V=2\int_0ˆ\frac L2 \pi yz\mathrm dx

V=\frac{\pi L}{60}(3ab+2aB+2Ab+8AB)


Si on a des ellipses comme génératrices

Dans le plan xOy on a l'ellipse \frac{xˆ2}{\alphaˆ2}+\frac{yˆ2}{\betaˆ2}=1

\alpha=\frac{L}{2\sqrt{1-(\frac aA)ˆ2}} et \beta=\frac A2

Dans le plan xOz on a l'ellipse \frac{xˆ2}{\gammaˆ2}+\frac{zˆ2}{\deltaˆ2}=1

\gamma=\frac{L}{2\sqrt{1-(\frac bB)ˆ2}} et \delta=\frac B2

V=2\int_0ˆ\frac L2 \pi yz\mathrm dx

V=\frac{\pi}{2Lˆ2} \int_0ˆ\frac{L}{2}\sqrt{(Lˆ2Aˆ2-4(Aˆ2-aˆ2)xˆ2)(Lˆ2Bˆ2-4(Bˆ2-bˆ2)xˆ2)}\mathrm dx


Volume partiel selon la hauteur de liquide

La génératrice est la parabole d'équation : y=\frac{2(d-D)}{Lˆ2}xˆ2+\frac{D}{2}

Soit h la hauteur de liquide

Soit x1 et x2 les limites maximales selon les valeurs de h

x_1=\sqrt{\frac{h Lˆ2}{2(D-d)}} et x_2=\sqrt{\frac{(D-d)Lˆ2}{2(D-d)}}

V=\int S \mathrm dx

S représente le segment circulaire, de rayon y, de flèche y - \frac D2 + h.

S=yˆ2\left(\arccos \frac{D-2h}{2y} -\frac{D-2h}{2y}\sqrt{1-\left(\frac{D-2h}{2y}\right)ˆ2}\right)

Si h\le\frac{D-d}{2}, alors

V=\int_0ˆ{x_1} 2S \mathrm dx

Si \frac{D-d}{2}\le h \le \frac{D+d}{2}, alors

V=\int_0ˆ\frac L2 2S \mathrm dx

Si h\ge\frac{D+d}{2}, alors

V=\int_0ˆ{x_2} 2S\mathrm dx + \int_{x_2}ˆ\frac{L}{2} 2\pi yˆ2\mathrm dx

V=\int_{\frac L2 -h}ˆ\frac L2 \pi yˆ2 \mathrm dx

\begin{align}V&=\pi\Biggl[\frac{4(d-D)ˆ2}{5Lˆ4}\left(\left(\frac L2\right)ˆ5-\left(\frac L2-h\right)ˆ5\right) \\ \ & +\frac{2D(d-D)}{3Lˆ2}\left(\left (\frac L2\right)ˆ3-\left(\frac L2-h\right)ˆ3\right)+h\left(\frac D2\right)ˆ2 \Biggr ] \end{align}

Surfaces

On considère ici aussi la parabole comme génératrice. Soit S1 cette surface

S_1=2\int_0ˆ\frac{L}{2} 2\pi y\mathrm ds

ds est la différentielle de l'abscisse curviligne.

\mathrm ds=\sqrt{1+y'ˆ2}\mathrm dx

S_1=4\pi\int_0ˆ\frac L2(axˆ2+b)\sqrt{1+4aˆ2xˆ2}\mathrm dx

L'intégration se fait par le changement de variable : 2ax = sinht

On arrive à :

\begin{align} S_1& =\frac{\pi L} {4}\Biggl[\sqrt{\frac{4(d-D)ˆ2}{Lˆ2}+1}\left ( d+D +\frac{Lˆ2}{8(d-D)}\right) \\ \ & +\frac{L}{d-D}\left(D-\frac{Lˆ2}{16(d-D)}\right)\operatorname{argsinh}\frac{2(d-D)}{L}\Biggr]\end{align}

Puis on ajoute les deux fonds : S_2=\frac{\pi dˆ2}{2}

S = S1 + S2

Surfaces partielles

Surface du tonneau en contact avec le liquide

Si h\le\frac{D-d}{2}, alors

S=\int_0ˆ{x_1} 4y \arccos\frac{D-2h}{2y}\sqrt{1+4aˆ2xˆ2}\mathrm dx

Si \frac{D-d}{2}\le h \le \frac{D+d}{2}, alors

\begin{align} S&=\int_0ˆ\frac{L}{2} 4y \arccos\frac{D-2h}{2y}\sqrt{1+4aˆ2xˆ2} \mathrm dx \\ \ & +\frac 12\left(dˆ2(\arccos \frac{D-2h}{d}-(D-2h)\sqrt{dˆ2-(D-2h)ˆ2})\right) \end{align}

Si h\ge\frac{D+d}{2}, alors

\begin{align}S&=\int_0ˆ{x_2} 4y \arccos\frac{D-2h}{2y}\sqrt{1+4aˆ2xˆ2}\mathrm dx \\ \ & + \int_{x_2}ˆ\frac{L}{2} 4\pi \left(axˆ2+\frac D2\right)\sqrt{1+4aˆ2xˆ2}\mathrm dx +\frac{\pi dˆ2}{2}\end{align}

0 < h < L et en tenant compte d'un fond :

S=2\pi\int_{\frac L2-h}ˆ\frac L2\left(axˆ2+\frac D2\right)\sqrt{1+4aˆ2xˆ2}\mathrm dx +\pi \frac{dˆ2}{4}

Si h = 0 alors S = 0. Et si h = L le tonneau est plein. Voir supra.

\begin{align} S&=\frac{\pi L}{8} \Biggl[ \sqrt{\frac{4(d-D)ˆ2} {Lˆ2} + 1 } \left( d+D + \frac{Lˆ2}{8(d-D)}\right) \\ \ & - \frac{L-2h}{L}\sqrt{\frac {4(d-D)ˆ2(L-2h)ˆ2}{Lˆ4}+1} \left(\frac{(d-D)(L-2h)ˆ2}{Lˆ2}+\frac{Lˆ2}{8(d-D)} +2D\right) \\ \ & + \frac{L}{d-D}\left(D-\frac{Lˆ2}{16(d-D)}\right)\left(\operatorname{argsinh}\frac{2(d-D)}{Lˆ2}-\operatorname{argsinh}\frac{2(d-D)(L-2h)}{Lˆ2}\right)\Bigg] \\ \ & +\frac{\pi dˆ2}{4}\end{align}

Surface de liquide en contact avec l'air

La génératrice est la parabole.

La corde c au point d'abscisse x s'exprime par :

c=\sqrt{4yˆ2-(D-2h)ˆ2}

Si h\le\frac{D-d}{2},

S=\int_0ˆ{x_1} 2c \mathrm dx

Si \frac{D-d}{2}\le h \le \frac{D+d}{2}, alors

S=\int_0ˆ\frac L2 2c \mathrm dx

Si h\ge\frac{D+d}{2}, alors

S=\int_0ˆ{x_2} 2c\mathrm dx

La génératrice est la parabole

0 < h < L

S=\pi yˆ2=\pi\left( \frac{2(d-D)}{Lˆ2}\left(\frac L2-h\right)ˆ2+\frac D2\right)ˆ2

Si h = 0 le tonneau est vide, et si h = L le tonneau est plein.

Voir aussi

Bibliographie

Recherche sur Amazon (livres) :



Principaux mots-clés de cette page : tonneau - formules - surfaces - génératrice - parabole - selon - liquide - courbe - plans - volume - couché - point - ellipse - hauteur - encore - exprime - obtient - équation - fonds - debout -

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Tonneau_(formules).
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 11/11/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu