Transformée de Fourier

En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et sert à leur associer un spectre en fréquences.



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  • On considère la fonction f définie par : f = {. 1 si x ∈ ] − a, a[. 0 sinon a > 0. Sa transformée de Fourier est définie pour tout k réel comme : F[f] (k) =... (source : espci)
  • des propriétés identiques `a celles vues pour les fonctions de L1 (IR) ou de L2 (IR). Voici ces propriétés. Théor`eme 12.1 La transformée de Fourier est une... (source : cnam)
  • dont la transformée de Fourier est image 87, qui n'est pas une fonction à valeurs réelles. Pour une transformée de Fourier à valeurs complexes, le tracé du ... (source : irit)
Joseph Fourier

En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et sert à leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à obtenir l'expression de la fonction comme «somme illimitée» des fonctions trigonométriques de toutes fréquences qui forment son spectre. Une telle sommation se présentera par conséquent sous forme d'intégrale. L'analyse non standard sert à la présenter sous forme d'une série et justifie le point de vue intuitif. Séries et transformation de Fourier forment les deux outils de base de l'analyse harmonique.

Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables

La transformée de Fourier \mathcal{F} est une opération qui transforme une fonction intégrable sur \R en une autre fonction, décrivant le spectre fréquentiel de cette dernière. Si f\ est une fonction intégrable sur \R, sa transformée de Fourier est la fonction \mathcal{F}(f)=\hat f donnée par la formule :

\mathcal{F}(f):\xi\mapsto \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(x)\, eˆ{-i \xi x}\, dx

Il est envisageable de choisir une définition alternative pour la transformée de Fourier. Ce choix est une affaire de convention dont les conséquences ne se manifestent (en général) que par des facteurs numériques. A titre d'exemple, certains scientifiques utilisent ainsi :

\mathcal{F}(f):\nu \mapsto \hat{f}(\nu) = \int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(t)\, eˆ{-i 2\pi\nu t}\, dt

avec t en secondes ν la fréquence (en s − 1).

Certains électroniciens ou physiciens utilisent (pour des raisons de symétrie avec la transformée de Fourier inverse) la transformée suivante :

\mathcal{F}(f):\omega\mapsto \hat{f}(\omega) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(t)\, eˆ{-i \omega t}\, dt

avec t en secondes et ω la pulsation (en rad. s − 1). Cette définition n'est cependant pas adaptée au traitement des produits de convolution : à cause du facteur {1 / \sqrt{2\pi}}, \mathcal{F}(f*g) \ne \mathcal{F}(f) .\mathcal{F}(g) , à moins d'introduire un tel facteur dans la définition du produit de convolution.

La totalité de départ est la totalité des fonctions intégrables f\ d'une variable réelle x\ . La totalité d'arrivée est la totalité des fonctions d'une variable réelle \xi\ . Concrètement quand cette transformation est utilisée en traitement du signal, on notera volontiers t à la place de x et \omega\ ou 2\pi \nu\ à la place de \xi\ qui seront les variables respectives de temps et de pulsation ou de fréquence. On dira tandis que f\ est dans le domaine temporel, et que \hat f est dans le domaine fréquentiel.

En physique, la transformation de Fourier sert à déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de diffraction donnent une image de l'espace dual du réseau, ils sont une sorte de «machine à transformation de Fourier» naturelle. Pour ces applications, les physiciens définissent généralement la transformée directe avec un facteur 1/{2\pi}\ et la transformée de Fourier inverse sans aucun préfacteur.

Le cadre le plus naturel pour définir les transformées de Fourier est celui des fonctions intégrables. Cependant, de nombreuses opérations (dérivations, transformée de Fourier inverse) ne peuvent être écrites en toute généralité. On doit à Plancherel l'introduction de la transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable, pour lesquelles la formule d'inversion est vraie. Puis la théorie des distributions de Schwartz permit de trouver un cadre idéalement adapté.

La notation \mathcal{F}(f) peut aussi être remplacée par F (f) ou TF (ƒ). Dans cet article, on utilisera exclusivement la première notation.

Il est aussi d'usage dans certaines communautés scientifiques de noter f(\mathbf{x}) pour la fonction de départ et f(\mathbf{p}) pour sa transformée, faisant ainsi correspondre à x, y, z les variables duales p, q, r. Cette notation est conforme à l'interprétation physique inspirée par la mécanique quantique : dualité entre position et moment. Cette notation n'est pas retenue ici.

On peut généraliser la définition de la transformée de Fourier à plusieurs variables, et même sur d'autres groupes que le groupe additif \R. Ainsi, on peut la définir sur le groupe additif \R/\Z, c'est-à-dire sur les fonctions de période 1 — on retrouve ainsi les séries de Fourier — sur des groupes localement compacts, pas obligatoirement commutatifs, et surtout sur des groupes finis. Ces définitions font intervenir les groupes duaux.

Propriétés de la transformée de Fourier

Fonction Transformée de Fourier
Linéarité a.g_1(x) + b.g_2(x)\ a.\hat g_1(\xi) + b.\hat g_2(\xi)\
Contraction du domaine f(a.x) \ \frac{1}{|a|}.\hat{f}(\xi/a)\
Translation temporelle g(x+x_0)\ \hat g(\xi)à{\mathrm{i} \xi x_0}\
Modulation dans le domaine temporel g(x)à{\mathrm{i} x \xi_0} \hat{g}(\xi-\xi_0)
Produit de convolution f \star g(x)\ \hat f(\xi) .\hat g(\xi)\
Dérivation g'(x)\

(voir conditions ci-dessous)

i \xi .\hat{g}(\xi)
Symétrie réelle et paire réelle et paire
réelle et impaire imaginaire pure et impaire
imaginaire pure et paire imaginaire pure et paire
imaginaire pure et impaire réelle et impaire
gaussienne gaussienne
\|\hat{f}\|_\infty\leq \|f\|_1

On peut résumer les deux dernières propriétés : notons D l'opération

Df=\frac{1}{\mathrm{i}} f',

et M la multiplication par l'argument :

(Mf)(x)=xf(x), \quad (M\hat f)(\xi)=\xi \hat f(\xi).

Alors, si f satisfait des conditions fonctionnelles convenables, \widehat{Df}=M\hat f et \widehat{Mf}=D\hat f. Ces formules symétriques sont particulièrement belles, et aussi particulièrement importantes.

On s'affranchira de ces conditions fonctionnelles en élargissant la classe des objets sur lesquelles opère la transformation de Fourier. C'est une des motivations de la définition des distributions.

Transformée de Fourier inverse

Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable, la formule dite de transformation de Fourier inverse, opération notée \mathcal{F}ˆ{-1}, est celle qui permet (sous conditions appropriées) de retrouver f à partir des données fréquentielles :

f(x) = {1 \over 2\pi}\, \int_{-\infty}ˆ{+\infty} \hat f(\xi)\, eˆ{+i\xi x}\, d\xi pour \hat f(\xi)\ = \int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(x)\, eˆ{-i \xi x}\, dx

Cette opération de transformation de Fourier inverse a des propriétés analogues à la transformation directe, puisque seuls changent le cœfficient multiplicatif et le − i devenu i.

Dans le cas des définitions alternatives, la transformée de Fourier inverse devient :

Définition en fréquence : f(t) = \int_{-\infty}ˆ{+\infty} \hat f(\nu)\, eˆ{+i 2\pi\nu t}\, d\nu pour \hat{f}(\nu) = \int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(t)\, eˆ{-i 2\pi\nu t}\, dt
Définition en pulsation : f(t) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}ˆ{+\infty} \hat f(\omega)\, eˆ{+i \omega t}\, d\omega pour \hat f(\omega)\ = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(t)\, eˆ{-i \omega t}\, dt

Extension à l'espace \Rˆn

Notons x\cdot \xi, le produit scalaire dans \Rˆn :

x\cdot \xi=\sum_{j=1}ˆn x_j\xi_j.

Si f est une fonction intégrable sur \Rˆn, sa transformée de Fourier est donnée par la formule

\hat f(\xi) = \int_{Rˆn} f(x)\, eˆ{-\mathrm{i} x\cdot \xi}\, dx

Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable, on a alors la formule d'inversion :

f(x) =\frac{1}{(2\pi)ˆn}  \int_{Rˆn} \hat f(\xi)\, eˆ{\mathrm{i}x\cdot \xi}\, d\xi.

Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable

Le théorème de Plancherel permet d'étendre la transformation de Fourier aux fonctions de carré sommable sur \R.

On débute par un premier résultat.

Lemme — Soit h une fonction complexe deux fois continûment dérivable sur \R, qui vérifie l'estimation

\forall x\in \R, \quad|h(x)|\le C/(1+xˆ2) (où C est une constante),

et dont les deux premières dérivées sont intégrables. Ceci implique que la transformée de Fourier \hat h est bien définie et de carré intégrable. Qui plus est , on a l'identité :

\int_\R |h(x)|ˆ2\, dx=\frac{1}{2\pi}\int_\R|\hat h(\xi)|ˆ2\, d\xi.

Une fois démontrée dans le lemme ci-dessus la formule de Plancherel pour une classe de fonctions suffisamment régulières, on étend par densité la transformation de Fourier à tout Lˆ2(\R).

On a ainsi le théorème de Plancherel :

Théorème de Plancherel —  Soit f une fonction complexe sur \R et de carré sommable. Alors la transformée de Fourier de f peut être définie comme suit : pour tout p entier, on pose

f_p(x)=(f 1_{[-p,p]})(x)=\begin{cases}f(x) &\text{si } |x|\le p,\\0&\text{sinon}nd{cases}

La suite des transformées de Fourier \hat f_p converge dans Lˆ2(\R), et sa limite est la transformée de Fourier \hat f, c'est-à-dire

\lim_{p\to\infty}\int_\R|\hat f(\xi)-\hat f_p(\xi)|ˆ2\, d\xi=0.

De plus on a l'identité :

\int_\R|f(x)|ˆ2\, dx =\frac{1}{2\pi}\int_\R |\hat f(\xi)|ˆ2 d\xi.

De façon identique, si on pose g_p(x)=\int_{-p}ˆp \hat h(\xi)eˆ{2\mathrm{i}\pi x\xi}\, d\xi, les gp convergent en moyenne quadratique vers f

Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme de l'espace L2, qui est une isométrie, à condition de faire un changement d'échelle :

\|\hat{f}/\sqrt {2\pi}\|_2 = \|f\sqrt {2\pi}\|_2.

En physique, on interprète le terme |\hat{f}(\xi)|ˆ2 figurant sous l'intégrale comme une densité spectrale de puissance.

La définition de la transformation de Fourier-Plancherel est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables. Sur l'intersection Lˆ1(\R)\cap Lˆ2(\R) des domaines de définition, on montre à l'aide du théorème de convergence dominée de Lebesgue que les deux définitions coïncident.

Lien avec le produit de convolution

La transformation de Fourier a des propriétés particulièrement intéressantes liées au produit de convolution. Ainsi :

Transformation de Fourier pour les distributions tempérées

Liens avec d'autres transformations

Lien avec les transformations de Laplace

La transformée de Fourier d'une fonction f\ est un cas spécifique de la transformée bilatérale de Laplace de cette même fonction définie par : \mathcal{L}_{bil}\{f\} (p) = \int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(t)\, eˆ{-pt} dt avec p \in \C

On constate tandis que \mathcal{F}\{f\} (\xi) = \mathcal{L}_{bil}\{f\} (i\xi) .

On peut aussi écrire ce lien en utilisant la transformée de Laplace "usuelle" par :

\mathcal{F}\{f\}(\xi) = \mathcal{L}\{fˆ+\}(+i\xi) + \mathcal{L}\{fˆ-\}(-i\xi)

où les fonctions fˆ+\ et fˆ-\ sont définies par :

fˆ+(t) = f(+t)\ si t ≥ 0 et 0 sinon.
fˆ-(t) = f(-t)\ si t ≥ 0 et 0 sinon.

Lien avec les séries de Fourier

Parallèle formel

La transformée de Fourier est définie de façon identique : la variable d'intégration x est remplacée par nΔx, n étant l'indice de sommation, et l'intégrale par la somme. On a alors

\hat f(k)=\Delta t \sum_{n=-\infty}ˆ\infty f(n)eˆ{-i2\pi kn\Delta t}.

On trouvera quelques remarques à ce sujet dans Analyse spectrale.

Transformée

On utilise les variables normalisées suivantes :F={f \over f_e}=f \Delta t = f|_{\Delta t=1}, Ω = eπF = 2πfΔt = ωδt | Δt = 1

Transformation de Fourier (analyse) Transformation inverse (synthèse)
X(f)=\Delta t \sum_{n=-\infty}ˆ\infty x(n)eˆ{-i2\pi fn\Delta t} x(n)=\int_{f_e} X(f)eˆ{i2\pi fn\Delta t}df
X(w)=\Delta t \sum_{n=-\infty}ˆ\infty x(n)eˆ{-i\omega n\Delta t} x(n)={1 \over 2\pi} \int_{\omega_2=2\pi f_e}X(w)eˆ{iwn\Delta t}dw
X(F)=\sum_{n=-\infty}ˆ\infty x(n)eˆ{-i2\pi nF} x(n)=\int_1 X(f)eˆ{i2\pi nF}dF\,\!
X(\Omega)=\sum_{n=-\infty}ˆ\infty x(n)eˆ{-in\Omega} x(n)={1 \over 2\pi}\int_{2\pi} X(\Omega)eˆ{in\Omega}d\Omega

Références

Voir aussi

Lien externe

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