Vecteur unitaire

Dans un espace vectoriel normé E, un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1.



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Dans un espace vectoriel normé (réel ou complexe) E, un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1.

Les vecteurs unitaires permettent de définir la direction et le sens d'un vecteur non nul de E. Tout vecteur non nul v est la multiplication du vecteur unitaire u=v/\|v\| par un nombre réel strictement positif, à savoir la norme \|v\| de v.

v = \|v\| \cdot u.

En physique, pour dénoter les vecteurs unitaires, il est usuel[réf.  nécessaire] d'utiliser un accent circonflexe : \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} . En mécanique quantique, les états sont des vecteurs unitaires d'espaces de Hilbert. Surtout, les fonctions d'onde sont des fonctions sur R3 de carré sommable et de norme L2 égale à 1.

Dérivation des vecteurs unitaires

Soit E un espace euclidien ou hermitien, et soit une fonction dérivable t\mapsto e(t) à valeurs dans E, telle que pour tout t, e (t) est un vecteur unitaire. Alors le vecteur dérivé e' (t) est orthogonal à e (t). C'est le cas surtout pour les vecteurs de l'ensemble des bases orthonormales mobiles.

En effet, le carré de la norme de e (t) est une fonction constante en t – par conséquent de dérivée nulle –. Sa dérivée est

0=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\|e(t)\|ˆ2 = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle e(t)\mid e(t)\rangle = 2\langle e'(t)\mid e(t)\rangle.

Par définition de l'orthogonalité, les vecteurs e (t) et e' (t) sont deux vecteurs orthogonaux pour tout t.

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