Vitesse angulaire

En physique, et plus particulièrement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi nommée fréquence angulaire ou pulsation, est une mesure de la vitesse de rotation.



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Grandeur physique - Métrologie - Mécanique

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En physique, et plus particulièrement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi nommée fréquence angulaire ou pulsation, est une mesure de la vitesse de rotation. Elle s'exprime dans le système international en radians par seconde (rad. s-1), ou plus simplement en s-1 puisque les angles sont des grandeurs sans dimension ; elle reste de manière courante donnée en tours par minute (tr/min). Une révolution complète est égale à 2π radians, donc :

\omega = \frac{d \, \theta}{d \, t} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f

où l'expression \frac{d \, \theta}{d \, t} est la dérivée de l'angle comparé au temps (en rad. s-1), T est la période de rotation (en s) et f est la fréquence (en s-1).

L'utilisation de la vitesse angulaire au lieu de la fréquence ordinaire est pratique dans maintes applications car elle permet d'éviter la naissance excessive de π. Elle est utilisée, entre autres, dans de nombreux domaines de la physique comme la mécanique quantique et l'électromagnétisme ainsi qu'en mathématiques pour la transformée de Fourier.

Pour une trajectoire circulaire :

 \omega = \frac{2\pi}{T}=\frac{v}{r}.

T est la période (en s), r est le rayon de la rotation (en m) et v est la vitesse du point (en m. s-1).

On utilise quelquefois un vecteur vitesse angulaire \vec{\omega}. Il s'agit du vecteur :

Théorèmes et propriétés relatifs à la fréquence angulaire

Composition des vitesses angulaires

Quels que soient les solides A, B et C, les fréquences de rotations sont liées par : \vec{\omega}_{A/C}=\vec{\omega}_{A/B}+\vec{\omega}_{B/C}. Remarque : il ne s'agit pas d'un vecteur mais d'un pseudovecteur, puisque le symétrique dans un miroir est inversé.

Exemple
Soit un référentiel galiléen R.
Considérons un solide S1 en rotation à la fréquence angulaire \omega_{S_1/R}, comparé au référentiel R.
Considérons aussi un solide S2 en rotation comparé à S1 à la fréquence angulaire \omega_{S_2/S_1}.
La vitesse de rotation de S2 comparé à R, \omega_{S_2/R}, sera égale à \omega_{S_2/R}=\omega_{S_1/R}+\omega_{S_2/S_1}.
Dans ce cas, si \omega_{S_2/S_1}=-\omega_{S_1/R}, le solide S2 sera en translation circulaire dans le référentiel R.

Relation Vitesse - Fréquence angulaire

Soient un solide S, et A et B, deux points de ce solide. Alors les vitesses des points A et B sont reliées par la relation suivante, aussi nommée relation de Varignon :

\vec{V_A}=\vec{V_B}+\vec{AB}\wedge\vec{\omega}_{A/R}.

Cette formule montre quoique «ω» (omega - en rad. s-1) n'est pas une vitesse (en m. s-1). Mais le produit vectoriel \vec{AB}\wedge\vec{\omega}_{A/R} est bien homogène à une vitesse.

Cas spécifique : rotation autour d'un axe fixe

Soit, pour un solide S en rotation autour d'un axe fixe D en un point O, de vecteur unitaire \vec{u}, la vitesse angulaire \vec{\omega}_{S/R}=\frac{d \, \theta}{d \, t} \vec{u}.

On peut alors exprimer la vitesse d'un point A quelconque du solide telle que : \vec{V}_{A/R}=\vec{\omega}_{S/R}\wedge\vec{OA}.

Exemple
Soit un disque de 1m de rayon, en rotation autour de son axe de symétrie à la vitesse ωD / R (R un référentiel galiléen). Si ω est exprimée en radians par secondes, alors chacun des points localisés sur le bord du disque aura une vitesse, dite aussi vitesse linéaire, orthogonale à l'axe de rotation (par propriété du produit vectoriel) de \omega_{D/R}\times1m. Unité : mètres par seconde.

Centre instantané de rotation

Par ressemblance : quand un mouvement n'est pas rectiligne, on peut regarder de façon ponctuelle sa vitesse et sa direction à un instant donné. De la même façon, s'il n'est pas en rotation, on considère généralement de façon ponctuelle une vitesse angulaire et un centre de rotation.

Le centre instantané de rotation de A comparé à B pour le moment t est le point I de A vérifiant : \vec{V}_{I/B}(t)=\vec{0}.

Voir aussi

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 11/11/2010.
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