Volume

Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.


Catégories :

Volume - Grandeur physique - Métrologie

Recherche sur Google Images :


Source image : forums.futura-sciences.com
Cette image est un résultat de recherche de Google Image. Elle est peut-être réduite par rapport à l'originale et/ou protégée par des droits d'auteur.

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Les différentes unités de volume et leur conversion.... 2) Les unités de volume : le mètre cube et ses unités dérivées. L'unité de volume du dispositif... (source : physique-chimie-college)
  • ... Retour sur volume et capacité des solides Le volume est la mesure de l'espace occupé... UNITÉS DE VOLUME : mesure de l'espace occupé. 3-Dimensions.... Voici les formules pour calculer l'aire et le volume d'une boule.... (source : csaffluents.qc)
  • L'unité de mesure d'un volume est le mètre cube (m3). haut... R2 est l'aire de la base, par conséquent la formule du volume d'un cylindre peut s'écrire comme la... (source : mathsgeo)

Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.


Mesure du volume

V = |\det( \vec v_1, \vec v_2, \vec v_3)|

.

Les calculs de volume ont évolué au cours de l'histoire en suivant les progrès du calcul illimitétésimal. C'est ainsi que les premiers volumes ont été calculés grâce à la méthode d'exhaustion, puis en utilisant le principe de Cavalieri et pour finir en calculant des intégrales triples.

Pour les solides simples (parallélépipède et objets de révolution), il existe des formules mathématiques servant à déterminer leur volume selon leurs dimensions caractéristiques.

Unités de volume

L'unité de volume du dispositif international est le mètre cube (m³) et ses dérivés (dm³, cm³, mm³). Mais d'autres unités de volume persistent en particulier dans les pays anglo-saxons (voir Conversion des unités).

Les volumes de matière liquide ont fréquemment leurs unités propres (litre, pinte, baril). La mise en place du système métrique a largement simplifié le nombre d'unités de volume utilisées qui dans l'Ancien Régime en comptait plus de vingt (voir Unités de mesure de l'Ancien Régime).

Pour les gaz où on veut connaître la quantité de matière (nombre de molécules) contenue dans un volume donné quelles que soient la pression et la température, deux définitions de correction existent :

Les volumes décrit ci-dessus correspondent à des volumes dit corrigés. Le volume qui ne tient pas compte de ces corrections est dit brut. On rencontre ces volumes dans l'élaboration des débits (voir débit) et du pouvoir calorifique des gaz.

Dans l'Union européenne, de nombreux volumes (et masses), sur les produits de consommation, sont indiqués en quantité estimée. Ils sont marqués comme tel, d'un «e» minuscule.

En mathématiques, l'unité de volume n'apparaît pas dans les formules. Elle est implicitement donnée par le volume du cube unité. Si, par exemple, pour des questions d'échelle, le cube unité a pour arête 2 cm, un volume de X (cube unité) correspond à 8X cm³.

Article détaillé : Unité de volume.

Quelques formules

Dans la suite on notera

Les solides de Platon

Animation d'un tétraèdre
Animation d'un tétraèdre

Ce sont les cinq seuls polyèdres réguliers. Si l'arête du polyèdre est a, on a

Les prismes et cylindres

La formule générale est toujours : Aire de la base × Hauteur

Les pyramides et cônes

La formule générale est toujours : V = \frac 13 B \times H

La boule

Solides de révolution

Article détaillé : théorème de Guldin.

Le théorème de Guldin (ou règle de Pappus) sert à calculer le volume d'un solide de révolution génèré par la révolution d'un élément de surface S plane autour d'un axe localisé dans son plan et ne le coupant pas, pour peu qu'on connaisse le centre de gravité G de l'élément de surface S.

V = 2\pi R\cdot SR est la distance séparant le point G de l'axe de rotation.

Cette formule sert à déterminer les volumes suivants :

V = \frac h6 (B_1 + B_2 + 4B_3)

Autres

Volume et calcul intégral

Article détaillé : intégrale multiple.

Si \mathcal D est une partie bornée de \Rˆ2, le volume du cylindre ayant pour génératrice la frontière de \mathcal D, délimité par le plan z = 0 et la surface d'équation z = f (x, y) – avec f positive et continue sur \mathcal D – est :

V = \iint_\mathcal D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

Dans le cas où le domaine \mathcal D est défini par des conditions simples x1 < x < x2, y1 (x) < y (x) < y2 (x) , ce calcul se ramène à :

V = \int_{x_1}ˆ{x_2}\!\int_{y_1(x)}ˆ{y_2(x)} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x

Si \mathcal A est une partie bornée de \Rˆ3 et si la fonction constante 1 est intégrable sur \mathcal A, le volume de \mathcal A est alors

V = \iiint _\mathcal A \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z

Dans le cas où le domaine \mathcal A est défini par des conditions simples x1 (z, y) < x (z, y) < x2 (z, y) , y1 (z) < y (z) < y2 (z) et z1 < z < z2, ce calcul se ramène à :

V = \int_{z_1}ˆ{z_2}\!\int_{y_1(z)}ˆ{y_2(z)}\!\int_{x_1(z,y)}ˆ{x_2(z,y)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z

Par linéarité de l'intégration, un domaine complexe à définir peut être partitionné en plusieurs sous-domaines exprimables eux en conditions simples.

Si le domaine \mathcal A s'exprime mieux en coordonnées cylindriques par des conditions simples \mathcal A', le calcul peut s'exprimer par

V = \iiint _{\mathcal A'} r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,dz\mathcal A' est une partie bornée de \R_+\times [0,2\pi] \times \R

Si le domaine \mathcal As'exprime mieux en coordonnées sphériques par des conditions simples \mathcal A'', le calcul peut s'exprimer par

V = \iiint _{\mathcal A''} rˆ2\sin(\phi)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi\mathcal A'' est une partie bornée de \R_+\times [0,2\pi]\times [0,\pi].

Dans le cas où le domaine \mathcal A est un solide de révolution dont la frontière est génèrée par la rotation d'une courbe d'équation y = f (x) autour de l'axe (Ox) , le calcul du volume se réduit à une intégrale simple

V = \pi \int_{x_1}ˆ{x_2}fˆ2(x)\,\mathrm{d}x

Enfin, le théorème de flux-divergence sert à diminuer le calcul de volume à une intégrale de surface

V = \iiint _A \mathrm{d}V = \frac 13 \iint_{\part\mathcal A} (x,y,z)\vec n\,\mathrm{d}S

\part\mathcal A est la frontière de \mathcal A, et \vec n le vecteur unitaire normal à dS dirigé vers l'extérieur de \mathcal A.

Voir aussi

Bibliographie

Liens externes

Notes et références

Recherche sur Amazone (livres) :



Principaux mots-clés de cette page : volume - unités - formules - calculs - mesure - cube - révolution - base - surface - domaine - simples - hauteur - boule - partie - pression - rayon - mathématiques - solides - conditions - plan - mètre - intégrales - gaz - cylindres - pyramides - cônes - axe - bornée -

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Volume.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 11/11/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu