Formule de Crofton

Soit γ une courbe rectifiable du plan. Soit une ligne orientée l, et soit n γ le nombre de points où γ et l s'intersectent.



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Courbe - Distance et longueur - Grandeur physique - Métrologie

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  • action a suivre une courbe de longueur minimale. Ces... droites orientées l'espace des formule de du plan droiteg Crofton. Figure 3... (source : math.huji.ac)
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Soit γ une courbe rectifiable du plan (courbe plane de longueur finie). Soit une ligne orientée l, et soit nγ (l) le nombre de points où γ et l s'intersectent. On peut paramétrer la droite l par sa direction φ composée d'un angle et de coordonnées comparé à l'origine. La formule de Crofton permet d'exprimer la longueur d'arc de la courbe γ en termes d'intégrale sur l'espace de l'ensemble des droites orientées :

\ell(\gamma) = \frac14\iint n_\gamma(\varphi, p)\;\mathrm d\varphi\;\mathrm dp

La forme différentielle

\mathrm d\varphi\wedge\mathrm dp

est invariante comparé aux transformations rigides  ; il s'agit par conséquent d'une mesure naturelle pour intégrer, ce qui sert à parler de nombre «moyen» d'intersection.

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Principaux mots-clés de cette page : courbe - longueur - orientée - nombre - droite - comparé -

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